Rechnernetze / Kommunikationssysteme

Aufgaben Netzsicherheit – Algebra

Modulare Arithmetik

  1. Was ist der Unterschied zwischen den Ausdrücken: a = b mod m und a ≡ b (mod m) ?
  2. Ermitteln Sie die Rechenregeln für Kongruenzen.
  3. Gelten folgende Aussagen? 6 ≡ 11 (mod 5), 6 ≡ −9 (mod 5)
  4. Berechnen Sie: $3^{28} \pmod {4}$, $3^{28} \pmod {5}$, $3^{28} \pmod {6}$ mittels modularer Exponentiation!
  5. Berechnen Sie: $3^{28}$ (mod 6) mittels Square-and-Multiply-Algorithmus!
  6. Was bedeutet die eulersche Phi-Funktion? Bestimmen Sie $φ(n)$ für folgende Werte: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 90.
  7. Bestimmen Sie mittels Satz von Euler den Ausdruck: $11^{182}$ (mod 19).

Restklassenkörper (Primkörper)

  1. Wiederholen Sie die Axiome für Körper
  2. Berechnen Sie im GF(7) folgende Aufgaben: 4 + 6, 3 · 4, 3 − 4, 3/4
  3. Bestimmen Sie die primitiven Elemente in GF(7)
  4. Bestimmen Sie den diskreten Logarithmus : $\log₃(4)$

Fakultativ

Erweiterungskörper

Gegeben sei ein Erweiterungskörper (erweitertes Galoisfeld) mit p = 2 und m = 2 → (GF $2^2$). Verwendet wird das primitive Polynom $p(x) = x^2 + x + 1$.

  1. Berechnen Sie die Ausdrücke: $(x + 1) + x$; $(x + 1) · x$; $x − 1$; $x · x$; $x/(x + 1)$
  2. Bestimmen Sie ein primitives Element!

Gegeben sei ein Erweiterungskörper mit p = 2 und m = 3 → (GF $2^3$). Verwendet wird das primitive Polynom $p(x) = x^3 + x + 1$.

  1. Geben Sie alle Elemente des GF an!
  2. Berechnen Sie die Ausdrücke: $(x^2 + 1) + (x + 1)$; $(x^2 + 1) · x$; $x · x$
  3. Bestimmen Sie ein primitives Element!
  4. Bestimmen Sie $x^3 · x^4$ !

Letzte Änderung: 13. June 2024 10:38