Rechnernetze / Kommunikationssysteme

Fehlerschutz

Verständnisaufgaben

Kanalmodelle und Kanalkapazität

  1. Bestimmen Sie die Kanalkapazität für einen BSC und einen BEC-Kanal mit $P_b = 0,5$!
  2. Bestimmen Sie die Kanalkapazität für einen AWGN-Kanal mit einem SNR von 20 dB!
  3. Bestimmen Sie die Kanalkapazität für einen AWGN-Kanal mit einer Bandbreite von 1 kHz und einem SNR von 20 dB!

Fehlererkennung und Fehlerkorrektur

Es ist ein Kanalcode mit $(n, k, d_{min})_s = (31, 15, 5)_2$ gegeben.

  1. Wieviele Fehler kann dieser Code erkennen?
  2. Wieviele Fehler kann dieser Code korrigieren?
  3. Wieviele Ausfallstellen kann dieser Code korrigieren?
  4. Wie hoch ist die Coderate R des Codes?
  5. Berechnen Sie die Blockfehlerwahrscheinlichkeit (ohne Korrektur) und die Restfehlerwahrscheinlichkeit bei Fehlerkorrektur und einer Übertragung über einen Binär-Kanal mit einer Bitfehlerwahrscheinlichkeit (BER) von $P_b = 10^{−2}$ .

Fehlerkorrektur

Gegeben ist folgender Kanalcode für die vier Zeichen A-D:

Zeichen Kanalcode x
A 000000
B 111000
C 000111
D 111111
  1. Wie groß ist die Minimaldistanz des Codes?
  2. Wieviele Bitfehler lassen sich erkennen, wieviele unbekannte Fehler korrigieren und wieviele Ausfallstellen korrigieren?

Praktische Codes

Gegeben ist ein $(n, k, d_{min})$-Code als (127, 64, 21)-BCH-Code.

  1. Welche Parameter können Sie aus dem BCH-Code ableiten?

Anwendung von CRC-Codes

In einem lokalen Netz (LAN) mit 100 Mbit/s wird mit einer Blocklänge von 1000 Bit unter Vollast gearbeitet. Bei im Durchschnitt jedem 50 000. Block treten Fehler auf, wobei die Hälfte der Blöcke von max. 3 Einzelfehlern betroffen ist und die andere Hälfte von Bündelfehlern mit einer Länge l > 100.

  1. Geben Sie die Wahrscheinlichkeit an, das ein empfangener Block fehlerhaft ist!
  2. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein empfangener Block einen unerkannten Fehler bei Einsatz eines CRC8, CRC16 bzw. CRC32 hat!
  3. In welchen zeitlichen Abständen ist mit einem erkannten bzw. unerkannten Fehler bei der Übertragung zu rechnen?

Lösungen:

Kanal

  1. BSC: $C = 0$, BEC: $C = 1-P_b = 0,5$ bit/Kanalbenutzung
  2. 20dB -> 100, C = 1/2 · log(1+S/N) = 1 bit/Kanalbenutzung
  3. C = B · log(1+S/N) = 2000 bit/s

Fehlererkennung und -korrektur

  1. Fehlererkennung: \(t_E = d_{min} − 1 = 4\)
  2. Fehlerkorrektur: \(t_K = ⌊ (d_{min}−1) / 2 ⌋ = 2\)
  3. Ausfallstellen: 4
  4. $R = k/n = 15/31 = 0,48$
  5. Blockfehlerwahrscheinlichkeit: \(P_{block} = 1 − (1 − Pb)^{31} = 1 − 0,7323 = 0,2677\) -> ca. jeder 4. übertragende Block ist fehlerhaft!

Restfehlerwahrscheinlichkeit:
$P_r ≤ \sum^n_{i=t+1} {n \choose i} (1 − P_b)^{n−i} · P^i_b = 1 − \sum^t_{i=0} {n \choose i} (1 − P_b)^{n−i} · P^i_b$
$= 1 − [ (1 − P_b)^{31} + 31 · (1 − P_b)^{30} · P_b + 465 · (1 − P_b)^{29}·P^2_b ]$
$= 1 − (0,7323 + 0,2293 + 0,0347) = 1 − 0,9963 = 3,7 · 10^{−3}$
ca. jeder 270. übertragene Block wird falsch korrigiert (Restfehler)

Fehlerkorrektur

  1. Die Minimaldistanz beträgt dmin = 3.
  2. $t_e = d_{min} − 1 = 2, t_k = ⌊ (d_{min}−1) / 2 ⌋ = 1, t_A = 2$ Es lassen sich 2 Fehler sicher erkennen bzw. 1 Fehler sicher korrigieren

Praktische Codes

CRC-Codes

  1. Wahrscheinlichkeit für einen Blockfehler: Pe = 1/50.000 = 2 · 10⁻⁵
  2. Wahrscheinlichkeit für das Versagen eines CRC-Codes bei Auftritt eines Bündelfehlers größerer Länge als m ist $P_v=2^{−m}$ mit m der Anzahl an CRC-Bits. Nichterkannte Fehler (betrachtet werden nur die Bündelfehler, damit ist Pe = 10⁻⁵) :
    • CRC8: $Pue = Pe · 2^{−8} = 3,9 · 10^{−8}$
    • CRC16: $Pue = Pe · 2^{−16} = 1,5 · 10^{−10}$
    • CRC32: $Pue = Pe · 2^{−32} = 2,3 · 10^{−15}$
  3. Blockrate bei Vollast: 100k Frames/s → 2 Fehler pro 1s.
    • Zeitlicher Abstand erkannter Fehler ca. 0,5 s
    • Zeitlicher Abstand von Bündelfehlern ca. 1 s
    • Zeitlicher Abstand unerkannter Fehler
    • CRC8: $1s/2^{−8}$ = 256 s
    • CRC16: $1s/2^{−16}$ = 1092 min = 18h
    • CRC32: $1s/2^{−32}$ = 136 Jahre

Fakultativ

∑ ₃ ✓€©¹⁻ せ

Letzte Änderung: 06. January 2026 16:27