Motivation - Ingenieurmathematik (i939)

Wozu heute noch Mathematik? Das macht doch alles der Computer oder “die KI”.

1.1Mathematik vs. Rechnen¶

Mathematik wird oft mit Rechnen verwechselt oder gleichgesetzt. Richtig ist: Mathematik ist die Kunst das Rechnen zu vermeiden! Mathematik strebt einerseits nach möglichst einfachen Lösungswegen für praktische Aufgabenstellungen und organisiert andererseits die trotzdem oft notwendige Rechenarbeit heute so, dass sie mit dem Computer erledigt werden kann.

Manuelles Rechnen ist für Ingenieure heute kaum mehr relevant. Lediglich für den Aufbau eines gewissen Grundverständnisses zu einem zu lösenden Problem kann es sinnvoll sein, einige einfache Spezialfälle per Hand auszurechnen. Alles, was einigermaßen praxisnah ist, ist zu komplex zum manuellen Rechnen und wird dem Computer überlassen.

Beispiel

Theoretisch kann man die Strömungsverhältnisse um ein fliegendes Flugzeug manuell durch Lösen von Differentialgleichungen klären. Schon aus der Tatsache, dass dazu die Form der Flugzeugoberfläche als mathematische Formel gegeben sein müsste, zeigt, dass dieser Gedanke praktisch nicht umsetzbar ist. Vielmehr wird die Flugzeugoberfläche nur als komplexes CAD-Modell bestehend aus Splines, Bézier-Kurven, NURBS usw. im Computer existieren, sodass auch die Strömungssimulation nur einer Computerrechnung zugänglich ist.

Dennoch kann es sinnvoll sein, die Strömungsverhältnisse um einfache Körper wie Kugel oder Kegel durch manuelle Rechnung zu erhellen. Denn die Ergebnisse manueller Rechnung

sind deutlich vertrauenswürdiger als bei Computerrechnung (mehr dazu im Laufe der Veranstaltung),
ermöglichen aufgrund ihrer oft einfachen Form ein allgemeineres Verständnis der Lösungseigenschaften des betrachteten Strömungsproblems,
dienen als wichtige Vergleichsgrundlage bei der Bewertung der Qualität von computerbasierten Lösungen.

Aus dem Beispiel wird klar: Manuelles Rechnen müssen nur noch wenige Ingenieure beherrschen (Grundlagenarbeit, Software-Entwicklung,..). Solide Fähigkeiten beim Lösen von Aufgabenstellungen mit dem Computer sind hingegen zwingend für jeden Ingenieur.

1.2Mathematik als Sprache¶

Die Mathematik dient ganz Wesentlich als Sprache in Technik, Naturwissenschaften und Wirtschaftswissenschaften; und das in zweierlei Hinsicht:

Mit den Mitteln der Mathematik werden Modelle der realen Welt formuliert. Solche mathematischen Modelle ermöglichen einerseits eine genaue Untersuchung des betrachteten Problems. Andererseits ist die mathematische Formulierung die Grundlage für den Einsatz von ebenfalls mit mathematischen Mitteln formulierten Lösungsverfahren.
Soll eine Aufgabenstellung mit dem Computer gelöst werden, so muss die Aufgabe in eine für Computer verständliche Form gebracht werden. Computer verstehen nur ganz klare und präzise Anweisungen, sodass man üblicherweise die mathematische Sprache als gemeinsames Ausdrucksmittel von Mensch und Computer wählt (z.B. in Software-Dokumentationen).

1.3Computer¶

Landläufig herrscht die Meinung vor, dass Computer immer richtig rechnen. Das stimmt leider nicht, wie wir im Laufe der Veranstaltung immer wieder sehen werden. Wichtige Fähigkeit von Ingenieuren ist heute zu erkennen, in welchen Situationen der Computer vertrauenswürdige Ergebnisse liefert und wann nicht! Diese Fähigkeiten zu stärken ist ein wesentliches Ziel dieser Veranstaltung.

Computer sind grundsätzlich als “dumm” zu betrachten. Sie tun exakt das, was man ihnen sagt (nicht, was man meint ihnen gesagt zu haben). Ob der Computer das Richtige tut und ob wir den Ergebnissen trauen können liegt allein in unserer Hand. Der Mensch muss die Prozesse und Hintergründe verstehen, muss einordnen und bewerten. Der Computer übernimmt lediglich das Rechnen, nicht das Denken!

1.4“KI”¶

Der Begriff “künstliche Intelligenz” ist irreführend. Tatsächlich handelt es sich bei den heute unter diesem Begriff verstandenen Techniken um simulierte Intelligenz. Diese System können nicht denken, keine zielgerichtete Kreativität entfalten. Sie interpolieren und (in weit geringerem Maß) extrapolieren lediglich vorhandenes Faktenwissen. Aus dieser Feststellung folgen zwei wichtige Schlüsse für das Dasein als Ingenieur:

Wer nur Standardaufgaben lösen muss/möchte, kommt mit KI oft ans Ziel. Wer wirklich Neues schaffen möchte, muss denken und verstehen.
Von KI gelieferte Problemlösungen können beliebig grobe oder auch sehr subtile Fehler enthalten. Gerade im oft sicherheitskritischen Ingenieurbereich müssen aber nachweisbar richtige Lösungen her. Mindestens müssen die Lösungen nach bestem Wissen und Gewissen korrekt sein; ein Anspruch, den KI-basierte Lösungen nicht erfüllen.

Wichtig: KI arbeitet nicht deterministisch, also nicht Schritt für Schritt nachvollziehbar, sondern statistisch, indem sie eine mit hoher Wahrscheinlichkeit passende Antwort “würfelt”. Die Wahrscheinlichkeiten basieren dabei auf der der KI beim Training zugänglichen Wissensbasis. Insbesondere Nischenthemen werden durch Mainstream-Themen überstrahlt. KI-Antworten dazu gleichen einer zufälligen, meist sinnlosen oder ganz falschen Vermischung des eigentlichen Themas mit den Mainstream-Themen im Umfeld. Dabei sind die Antworten sauber und überzeugend formuliert, halten einer inhaltlichen Detailprüfung jedoch nicht stand.

Zur Ideenfindung ist KI durchaus geeignet. Die Abschließende Problemlösung muss jedoch vom Ingenieur vollständig durchdacht und verstanden sein.

Der Einsatz von KI liefert schnelle Erfolge, die langfristig aber hinter den durch Denken und Verstehen erzielbaren Resultaten zurückbleiben.

Diagramme Ergebnisqualität vs. Zeiteinsatz ohne und mit KI — KI liefert schnell akzeptable Ergebnisse auf mittelmäßigem Niveau. Selbst Denken und Verstehen benötigt mehr Zeit, liefert aber langfristig deutlich hochwertigere Resultate.

1.5Mittel gegen Komplexität¶

Neben der direkten Funktion als Sprache dient Mathematik auch dem Strukturieren von Denkprozessen. Die Mathematik schafft vereinfachte Formulierungen der realen Welt und abstrahiert komplexe Zusammenhänge und Vorgänge in klar definierten Begriffen und Strukturen. Durch die Gewöhnung an abstrakte Begriffe (als Ersatz für die viel zu komplexe Realität) werden Denkprozesse vereinfacht oder überhaupt erst möglich.

Abstraktion findet auch außerhalb der Mathematik statt, ist aber in der Mathematik zentrales Arbeitsmittel mit Wirkung in andere Wissenschaftsgebiete hinein.

1.6“Soft-Skills”¶

Beschäftigt man sich mit Mathematik, erlernt man ganz nebenbei viele Fähigkeiten, die im Privaten wie Beruflichen sehr nützlich sind:

genaues Analysieren,
streng logisches Argumentieren,
exakte Ausdrucksweise,
scheinbar offensichtliches immer wieder hinterfragen,
das eigene Denken und Verstehen im Grenzbereich testen.

Das Üben dieser Fähigkeiten in der klaren, strukturierten Welt der Mathematik rüstet für den Weg in diffusere Gebiete (Philosophie, Politik,...).

Beispiel (Logisches Argumentieren)

Hase und Kröte liefern sich ein Wettrennen über 100 Meter. Der Hase sieht die Sache entspannt und lässt die Schildkröte 10 Meter weiter vorn starten. Beide laufen gleichzeitig los. Wer wird gewinnen?

Dazu zwei Argumentationen:

Der Hase wird gewinnen, da er viel schneller läuft als die Schildkröte.
Die Schildkröte wird gewinnen. Wenn der Hase bei der Startposition der Schildkröte ankommt, ist diese bereits ein Stück gelaufen, liegt also vorn. Kommt der Hase dann wiederum an dieser Position an, ist die Schildkröte wieder ein Stück weiter. Jedesmal, wenn der Hase an der vorherigen Position der Schildkröte ankommt, ist die Schildkröte schon wieder ein Stück weiter. Die Schildkröte liegt immer vorn, wird also gewinnen.

Wer hat recht? Wo ist der Fehler in der anderen Argumentation? (IDV 140)

Drei Personen sprechen diskutieren: "The math department number shortage is getting worse. We have only 15 2s and 12 3s left. No, wait, 13 2s and 10 3s. No, wait..." — “10 minutes ago we were down to only 2 0s!” “How many do we have now?” “I ... don’t know!!” Quelle: Randall Munroe, xkcd.com/3009

1.7Mathematik im Studium¶

Im weiteren Studienverlauf wird die Mathematik in vielen Modulen eine tragende Rolle spielen. Einige Module aus dem Wahlpflichtbereich:

Angewandte Programmierung und KI (Optimierung, Statistik, Programmiergrundlagen).
Strömungssimulation/Strömungslehre (Differentialgleichungen).
Konstruktionsbegleitende Simulation (Differentialgleichungen, Fourier-Transformationen).
Digitale Messtechnik: Bildverarbeitung und Koordinatenmesstechnik (Statistik, Fourier-Transformationen),
FEM-Simulation Fertigungsverfahren (Differentialgleichungen),
Mechanismentechnik: Mehrkörpersimulation (Differentialgleichungen).

Person schaut aus etwas Entfernung auf Tafel mit Formeln und denkt "Amazing watching a physicist at work, exploring universes in a symphony of numbers. If only I had studied math, I could appreciate the beauty on display here.". Person an der Tafel denkt "Oh no. This has two unknowns. That's gonna be really hard. Ughhhhhhh. Think. There's gotta be a way to avoid doing all that work...". — I could type this into a solver, which MIGHT help, but would also mean I have to get a lot of parentheses right... Quelle: Randall Munroe, xkcd.com/2207

1.8Beispiel: Perovskit-Solarzellen¶

Neben Silizium werden zunehmend alternative Materialien für Solarzellen untersucht und teils auch schon eingesetzt. Dazu gehört das recht preiswerte Material Perowskit. Durch noch nicht hinreichend präzise kontrollierbare Produktionsprozesse kann es zu Materialfehlern kommen, welche den Wirkungsgrad der Solarzellen verringern. Deshalb ist man an experimentellen Verfahren interessiert, die Einblick in die Art der Materialfehler geben, um anschließend die Produktionsprozesse gezielt zu verbessern. Ein solches Verfahren ist Laplace-DLTS (Laplace deep-level transient spectroscopy).

Die für Laplace-DLTS verwendeten experimentellen Messergebnisse sind ohne weitere algorithmische Auswertung nicht verwertbar. Vereinfacht dargestellt: Sogenannte Elektronenfallen im Material (Materialfehler) werden mit Ladungen gefüllt und anschließend beobachtet man das relativ langsame Abfließen der Ladungen aus den Fallen. Dieser Vorgang wird bei verschiedenen Temperaturen wiederholt. Es entsteht eine Folge von sogenannten Transienten.

Transienten zu verschiedenen Temperaturen. — Gemessene Transienten $t\mapsto C(t)$ zu verschiedenen Temperaturen $T$ . Die Transienten wurden mit dem Faktor $\frac{1}{C_0}$ skaliert.

Jede gemessene Transiente entsteht durch Überlagerung der Transienten mehrerer Elektronenfallen im Material. Da das Abklingverhalten einer Einzeltransiente bekannt ist (Exponentialfunktion), kann die Überlagerung rückgängig gemacht werden. Man erhält als Modell für die Entstehung der Transienten die Laplace-Transformation

C(t)=\int_0^\infty g(s)\,\rme^{-s\,t}\diff s.

(1)

Dies ist eine lineare Integralgleichung. Dabei ist $C$ die in Abhängigkeit der Zeit $t$ gemessene Gesamttransiente zu einer festen Temperatur und $g$ ist die Verteilung der Abklinggeschwindigkeiten in der Menge aller Einzeltransienten. Typischerweise wird $g$ aus wenigen sehr scharfen Peaks bestehen. Aus Position, Höhe und Breite der Peaks kann auf Art und Anzahl der Materialfehler geschlossen werden. Trägt man die Peak-Positionen bei verschiedenen Temperturen in ein Diagramm ein, so erhält man einen sogenannten Arrhenius-Plot. Dieser zeigt typischerweise abfallende Geraden, aus deren Lage und Neigung auf weitere Materialeigenschaften geschlossen werden kann.

Arrhenius-Plot zu zwei verschiedenen Messreihen. — Arrhenius-Plot zu zwei verschiedenen Messreihen (blau und rot). Die Anordnung der Punkte entlang von Geraden ist gut erkennbar Die Farbintensität der Punkte gibt die Höhe der entsprechenden Peaks in der berechneten Funktion $g$ an.

Theorie:

Messwerte aufnehmen (mit Unterstützung eines Physikers).
Laplace-Transformation für jede Transiente $C$ invertieren; liefert jeweils eine Funktion $g$ (Standardaufgabe).
Peak-Positionen in $g$ bestimmen und (entsprechend Temperatur) in Arrhenius-Plot eintragen.
Position und Anstieg von Geraden im Arrhenius-Plot bestimmen (Standardaufgabe).

Theoretisch ist das alles mit Standardwerkzeugen (Software) machbar.

Praxis:

Die einzige am Markt verfügbare Software für genau dieses Messproblem ist Jahrzehnte alt und teuer. Wird trotzdem beschafft...
Die Software kann nur 30000 Messwerte pro Transiente verarbeiten; gemessen werden 300000. Also 90 Prozent der Messwerte wegwerfen...
Die Software liefert nur “Garbage”. Lange Fehlersuche im Messprozess bis klar wird, dass die Software das Problem sein muss.
Zu lösendes mathematisches Problem verstehen und Software selber bauen. Problem stellt sich als schierig lösbar heraus.
Hilfe holen (Mathematiker).

Weg zum Ziel:

Aufgabenstellung verstehen (gemeinsame Sprache nötig!).
Beschaffte Software verstehen (Handbuch lesen; enthält viele “Formeln”):
- Software geht von zweimal differenzierbaren Funktionen $g$ mit kleinen Werten der zweiten Ableitung aus; wir erwarten aber scharfe Peaks.
- Software kann nur mit $g\geq 0$ umgehen; bei uns können auch negative Werte auftreten.
Beschaffte Software definitv untauglich; eigene Entwicklung nötig.
Gemeinsam klären, was eigentlich gesucht wird:
- $g$ oder
- Peak-Positionen in $g$ oder
- Geraden im Arrhenius-Plot?
Diskussion der technischen Details:
- Brauchen wir wirklich 300000 Messwerte? Nein, können aber nicht beliebige Messwerte wegwerfen, sondern nur nach einem gewissen Schema.
- In welcher Form liegen die Messwerte vor?
- Was muss die Software können (GUI, Hardware-Anbindung,...)?
Mathematiker baut den Berechnungsteil der Software; Physiker baut den Teil für die Verarbeitung der Messwerte. Ingenieur behält den Gesamtprozess im Auge.
Wenigstens grob verstehen, was da gerechnet wird.

Was lernen wir daraus?

Immer ganz genau hinschauen, was der Computer/die Software eigentlich tut.
Standardverfahren sind nur selten direkt einsetzbar. Meistens muss man Anpassungen vornehmen, gelegentlich Neues entwickeln.
Problemstellung genau formulieren (“gegeben, gesucht”).
Ingenieur braucht Kenntnisse in angrenzenden Gebieten (Physik, Mathematik, Informatik), damit er die zugelieferten Einzelteile überblickt und zusammenfügen kann.
“Das macht der Computer” ist schnell gesagt, in der Umsetzung aber alles andere als einfach.