Übung 3 (Aussagen, Abbildungen, Folgen)

Aussagen¶

Aufgabe 3.1 (KTA)¶

Bilden Sie zu folgenden Aussagen die genau gegenteiligen Aussagen. Dabei spielt es keine Rolle, ob die gegeben Aussagen wahr oder falsch sind!

(a) Alle Studierenden bestehen die Mathematikprüfung.
(b) Alle Studierenden bestehen alle Prüfungen dieses Semesters.
(c) Es gibt Studierende, die dieses Semester durch mindestens eine Prüfung fallen.
(d) Wenn alle Studierenden die Prüfung bestanden haben, sind alle Studierenden glücklich.

Aufgabe 3.2 (KTA)¶

Skizzieren Sie die Menge

\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\;y\geq 0,\;(x-1)^2+y^2\leq 1,\;2\,x+y\leq 2\}.

Abbildungen¶

Aufgabe 3.3 (KTA)¶

Entscheiden Sie für jede der folgenden Abbildungen, welche Abbildung injektiv/surjektiv/bijektiv ist. Ist keine Grundmenge für den Wertebereich angegeben, so ist die kanonische Menge zu wählen (bei (a) z.B. $\mathbb{N}$ ).

(a) Jedem Insekt wird die Anzahl seiner Beine zugeordnet.
(b) Jedem Land wird seine Nationalflagge zugeordnet.
(c) Jedem Bundestagsabgeordneten wird ein Sitzplatz im Parlamentssaal zugeordnet.

Zahlenfolgen¶

Aufgabe 3.4 (KTA)¶

Zeigen Sie durch Berechnen der folgenden Grenzwerte, dass Summen der Form “ $\infty-\infty$ ” verschiedene Werte annehmen können und somit stets einer Einzelfallbetrachtung bedürfen.

(a) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(n^2-n)$
(b) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(n^2-n^3)$
(c) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(n^2-\frac{n^3}{n+\frac{1}{n}}\right)$

Aufgabe 3.5¶

Stellen Sie durch numerisches Auswerten der Folgenglieder

a_n=\left(\frac{(n-1)^2}{(2^3)^4\,n+1}\right)^{\frac{1}{50}}

eine Vermutung zum Konvergenzverhalten der Folge $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ an. Überprüfen Sie Ihre Vermutung durch Berechnung des Grenzwerts mit SymPy.

# Ihre Lösung

Aufgabe 3.6¶

Durch

{\begin{align*} x_1&:=0,\\ y_1&:=0,\\ x_{n+1}&:=x_n^2-y_n^2+\frac{1}{5},\quad n\in\mathbb{N},\\ y_{n+1}&:=2\,x_n\,y_n+\frac{1}{2},\quad n\in\mathbb{N}, \end{align*}}

ist eine Folge $\bigl((x_n,y_n)\bigr)_{n\in\mathbb{N}}$ von Punkten in der Ebene gegeben.

(a) Stellen Sie die ersten 100 Elemente der Punktfolge grafisch dar.
(b) Stellen Sie eine Vermutung zum Konvergenzverhalten an, wenn wir unter Konvergenz einer Punktfolge die Konvergenz beider Koordinatenfolgen verstehen.
(c) Formulieren Sie anhand der Definition des Konvergenzbegriffs für Zahlenfolgen die Bedingungen, die für den Nachweis der Konvergenz zu überprüfen wären.

# Ihre Lösung

Aufgabe 3.7 (KTA)¶

Wird ein Kaptial von 1000000 Euro nach einem Jahr mit 1 Prozent Zinsen vergütet, so stehen nach diesem Jahr

1000000\,(1+0.01)=1010000

Euro zur Verfügung. Werden hingegen monatlich Zinsen zu $\frac{1}{12}$ des jährlichen Zinssatzes gezahlt, so sind nach Jahresende

1000000\,\left(1+\frac{0.01}{12}\right)^{12}\approx 1010045.96

Euro vorhanden. Bei täglichlich Verzinsung würde man

1000000\,\left(1+\frac{0.01}{365}\right)^{365}\approx 1010050.03

Euro erhalten.

Lässt sich durch immer feinere Unterteilung des Jahres in Zinsabschnitte (Stunden, Minuten,...) das Endkapital beliebig erhöhen? Begründen Sie Ihre Antwort!