Übung 4 (Funktionen) - Mathematik I (i933)

Definitionsbereich¶

Aufgabe 4.1 (KTA)¶

Bestimmen Sie die größtmögliche Menge $D\subseteq\mathbb{R}$ , sodass die folgenden Zuordnungsvorschriften für alle $x\in D$ einen sinnvollen Wert liefern. Skizzieren Sie jeweils die Menge $D$ .

(a) $x\mapsto\frac{5}{(x-1)^2}$ ,
(b) $x\mapsto\frac{x}{x}$ ,
(c) $x\mapsto\sqrt{9-|x|}$ ,
(d) $x\mapsto\ln(x^2-2\,x+2)$ ,
(e) $x\mapsto\sqrt{4-x}+\sqrt{x-3}$ .

Aufgabe 4.2 (KTA)¶

Bestimmen Sie die größtmögliche Menge $D\subseteq\mathbb{R}^2$ , sodass die folgenden Zuordnungsvorschriften für alle $(x,y)\in D$ einen sinnvollen Wert liefern. Skizzieren Sie jeweils die Menge $D$ .

(a) $(x,y)\mapsto\ln(x^2-y^2)$ ,
(b) $(x,y)\mapsto\sqrt{y-2\,x}$ ,
(c) $(x,y)\mapsto(9-x^2-y^2)^{-2}$ ,
(d) $(x,y)\mapsto\frac{\sqrt{y-x}}{y}$ ,
(e) $(x,y)\mapsto\mathrm{e}^{-x^2}$ ,
(f) $(x,y)\mapsto\tan\bigl(\frac{1}{x+y}\bigr)$ .

Visualisierung¶

Aufgabe 4.3¶

Visualisieren Sie die Funktion $f:[-2\,\pi,2\,\pi]\to\mathbb{R}$ , $f(x):=x^2\,\cos(10\,x)$ .

# Ihre Lösung

Aufgabe 4.4¶

Visualisieren Sie die Funktion $f:[-\frac{\pi}{8},\frac{\pi}{8}]\to\mathbb{R}$ , $f(x):=\sin\frac{1}{x}$ .

# Ihre Lösung

Aufgabe 4.5¶

Visualisieren Sie die durch

x(t):=\cos(10\,t),\quad y(t)=\sin(10\,t),\quad t\in[0,2\,\pi]

gegebene Kurve im Raum als 3D-Plot.

# Ihre Lösung

Grenzwerte und Stetigkeit¶

Aufgabe 4.6 (KTA)¶

Zeigen Sie ausgehend von der Definition des Grenzwerts bei Funktionen, dass der Grenzwert

\lim_{x\to 0}\sin\frac{1}{x}

nicht existiert.

Aufgabe 4.7¶

Ermitteln Sie mit SymPy, ob folgende Grenzwerte existieren und welchen Wert sie ggf. haben.

Hinweis: Das Berechnen von Funktionsgrenzwerten mit SymPy funktioniert genauso wie das Berechnen von Folgengrenzwerten. Allerdings liefert SymPy stets nur den rechtsseitigen Grenzwert. Mit sympy.limit(..., x, x0, '-') erhält man den linksseitigen Grenzwert. Die direkte Berechnung des beidseitigen Grenzwerts wird nicht unterstützt.

(a) $\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{(x-2)^2}{x^2-4}$ ,
(b) $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x}{|x|}$ ,
(c) $\displaystyle\lim_{x\to 0}\sin\frac{1}{x}$ .

Aufgabe 4.8¶

Implementieren Sie die Funktion

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\quad f(x):=\begin{cases}-1-x^2,&\text{falls }x<0,\\0,&\text{falls }x=0,\\1+x^2,&\text{falls }x>0\end{cases}

als Python-Funktion. Testen Sie Ihre Funktion mit dem folgenden Code:

def f(x):
    # Hier Code einfügen
    
print(f'f(-2) = {f(-2)}')
print(f'f(-1) = {f(-1)}')
print(f'f(0) = {f(0)}')
print(f'f(1) = {f(1)}')
print(f'f(2) = {f(2)}')
print(f'f(0) = {f(0.1 ** 2 - 0.01)}')

Warum wird trotz korrekter Implementierung ein falscher Funktionswert in der letzten Zeile ausgegeben? Kann dies für stetige Funktionen ebenfalls passieren?

Zusatz: Visualisieren Sie die Funktion $f$ . Achten Sie insbesondere auf die korrekte Darstellung für $x\approx 0$ .

# Ihre Lösung