Übung 5 (Matrizen, Vektorgeometrie) 25. August 2026
Rechnen mit Matrizen ¶ Aufgabe 5.1 (KTA ) ¶ Geben Sie zu folgenden Ausdrücken die Größe der Ergebnismatrix an:
(a) A B C , A ∈ R 3 × 7 , B ∈ R 7 × 5 , C ∈ R 5 × 4 A\,B\,C,\quad A\in\mathbb{R}^{3\times 7},\;B\in\mathbb{R}^{7\times 5},\;C\in\mathbb{R}^{5\times 4} A B C , A ∈ R 3 × 7 , B ∈ R 7 × 5 , C ∈ R 5 × 4
(b) ( A B T ) T C , A ∈ R 3 × 4 , B ∈ R 5 × 4 , C ∈ R 3 × 4 (A\,B^{\mathrm{T}})^{\mathrm{T}}\,C,\quad A\in\mathbb{R}^{3\times 4},\;B\in\mathbb{R}^{5\times 4},\;C\in\mathbb{R}^{3\times 4} ( A B T ) T C , A ∈ R 3 × 4 , B ∈ R 5 × 4 , C ∈ R 3 × 4
(c) x T y x ∈ R n , y ∈ R n x^{\mathrm{T}}\,y\quad x\in\mathbb{R}^n,\;y\in\mathbb{R}^n x T y x ∈ R n , y ∈ R n
(d) x y T x ∈ R n , y ∈ R n x\,y^{\mathrm{T}}\quad x\in\mathbb{R}^n,\;y\in\mathbb{R}^n x y T x ∈ R n , y ∈ R n
(e) x T A x x ∈ R n , A ∈ R n × n x^{\mathrm{T}}\,A\,x\quad x\in\mathbb{R}^n,\;A\in\mathbb{R}^{n\times n} x T A x x ∈ R n , A ∈ R n × n
Aufgabe 5.2 (KTA ) ¶ Berechnen Sie die folgenden Produkte und Summen:
(a) [ 2 3 1 3 2 1 ] [ 4 5 1 1 2 0 ] {\begin{bmatrix}2&3&1\\3&2&1\end{bmatrix}}\,{\begin{bmatrix}4&5\\1&1\\2&0\end{bmatrix}} [ 2 3 3 2 1 1 ] ⎣ ⎡ 4 1 2 5 1 0 ⎦ ⎤
(b) [ 2 3 1 3 2 1 ] [ 1 2 0 ] + [ 2 3 1 3 2 1 ] [ 0 1 2 ] {\begin{bmatrix}2&3&1\\3&2&1\end{bmatrix}}\,{\begin{bmatrix}1\\2\\0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}2&3&1\\3&2&1\end{bmatrix}}\,{\begin{bmatrix}0\\1\\2\end{bmatrix}} [ 2 3 3 2 1 1 ] ⎣ ⎡ 1 2 0 ⎦ ⎤ + [ 2 3 3 2 1 1 ] ⎣ ⎡ 0 1 2 ⎦ ⎤
(c) [ 1 2 3 ] [ 4 5 6 ] {\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}}\,{\begin{bmatrix}4&5&6\end{bmatrix}} ⎣ ⎡ 1 2 3 ⎦ ⎤ [ 4 5 6 ]
Aufgabe 5.3 (KTA ) ¶ Rechnen Sie die Beziehung ( A B ) T = B T A T (A\,B)^{\mathrm{T}}=B^{\mathrm{T}}\,A^{\mathrm{T}} ( A B ) T = B T A T
A = [ 2 3 1 3 2 1 ] , B = [ 4 5 1 1 2 0 ] A={\begin{bmatrix}2&3&1\\3&2&1\end{bmatrix}},\qquad B={\begin{bmatrix}4&5\\1&1\\2&0\end{bmatrix}} A = [ 2 3 3 2 1 1 ] , B = ⎣ ⎡ 4 1 2 5 1 0 ⎦ ⎤ nach.
Aufgabe 5.4 (KTA ) ¶ Berechnen Sie die Determinanten:
(a) ∣ 1 2 3 4 ∣ {\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}} ∣ ∣ 1 3 2 4 ∣ ∣
(b) ∣ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ∣ {\begin{vmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{vmatrix}} ∣ ∣ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ∣ ∣
(c) ∣ 2 0 1 3 2 0 1 1 1 ∣ {\begin{vmatrix}2&0&1\\3&2&0\\1&1&1\end{vmatrix}} ∣ ∣ 2 3 1 0 2 1 1 0 1 ∣ ∣
Rechnen mit Vektoren ¶ Aufgabe 5.5 (KTA ) ¶ Die Eckpunkte eines Dreiecks im Raum sind A = ( 2 , 3 , 4 ) A=(2,3,4) A = ( 2 , 3 , 4 ) B = ( 3 , 1 , 7 ) B=(3,1,7) B = ( 3 , 1 , 7 ) C = ( 1 , 8 , 2 ) C=(1,8,2) C = ( 1 , 8 , 2 ) A B ‾ \overline{AB} A B B B B
Aufgabe 5.6 (KTA ) ¶ Im Raum sind die drei Punkte A ( 1 , − 2 , 3 ) A(1,−2,3) A ( 1 , − 2 , 3 ) B = ( 3 , 2 , 1 ) B=(3,2,1) B = ( 3 , 2 , 1 ) C = ( 6 , 4 , 4 ) C=(6,4,4) C = ( 6 , 4 , 4 ) D D D A , B , C , D A,B,C,D A , B , C , D
Aufgabe 5.7 (KTA ) ¶ Seien a , b ∈ R 3 a,b\in\mathbb{R}^3 a , b ∈ R 3 w ∈ R 3 w\in\mathbb{R}^3 w ∈ R 3 a a a b b b
Skalarprodukt und orthogonale Projektion ¶ Aufgabe 5.8 (KTA ) ¶ Finden Sie alle Vektoren, die orthogonal zum Vektor [ 3 − 1 2 ] T {\begin{bmatrix}3&-1&2\end{bmatrix}}^{\mathrm{T}} [ 3 − 1 2 ] T
Aufgabe 5.9 (KTA ) ¶ Berechnen Sie R 5 \mathbb{R}^5 R 5 [ 1 0 1 − 1 2 ] T {\begin{bmatrix}1&0&1&-1&2\end{bmatrix}}^{\mathrm{T}} [ 1 0 1 − 1 2 ] T [ 0 2 − 1 − 2 0 ] T {\begin{bmatrix}0&2&-1&-2&0\end{bmatrix}}^{\mathrm{T}} [ 0 2 − 1 − 2 0 ] T
Aufgabe 5.10 (KTA ) ¶ Von einem Eckpunkt eines Quadrates werden Geraden durch die Mittelpunkte der beiden dem Eckpunkt gegenüberliegenden Seiten gezogen. Wie groß ist der Winkel zwischen den beiden Geraden?
Aufgabe 5.11 (KTA ) ¶ Eine Kraft vom Betrag 60 N, die in Richtung des Vektors [ − 1 3 2 ] T {\begin{bmatrix}-1&3&2\end{bmatrix}}^{\mathrm{T}} [ − 1 3 2 ] T ( 2 , − 2 , 1 ) (2,−2,1) ( 2 , − 2 , 1 ) ( 3 , 4 , 5 ) (3,4,5) ( 3 , 4 , 5 )