Übung 6 (lineare Abbildungen, Basen)

Lineare Abbildungen¶

Aufgabe 6.1 (KTA)¶

Sind folgende Abbildungen linear? Begründen Sie Ihre Entscheidung.

• (a) $f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R},\;x\mapsto x_1$,

• (b) $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2,\;(x,y)\mapsto(-y,x)$,

• (c) $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R},\;(x,y)\mapsto x\,y$,

• (d) $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R},\;(x,y)\mapsto x+y$,

• (e) $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2,\;(x,y)\mapsto(x+1,y-1)$.

Aufgabe 6.2 (KTA)¶

Geben Sie zu folgenden linearen Abbildungen die Matrixdarstellung an:

• (a) $f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3,\;$ 90°-Drehung um die $z$-Achse gegen die Uhr (bei Betrachtung vom Punkt $(0,0,1)$ aus),

• (b) $f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R},\;$ Bilden der Summe aller Komponenten,

• (c) $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2,\;$ Drehung um $\frac{\pi}{4}$ im Uhrzeigersinn,

• (d) $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2,\;$ orthogonale Projektion auf den Vektor ${\begin{bmatrix}1&1\end{bmatrix}}^{\mathrm{T}}$.

Unterräume und Basen¶

Aufgabe 6.3 (KTA)¶

Zeigen Sie, dass die Menge

ein linearer Unterraum von $\mathbb{R}^4$ ist.

Welche Dimension hat $U$? Geben Sie eine Basis von $U$ an.

Aufgabe 6.4 (KTA)¶

Begründen Sie anhand der Definition der linearen Unabhängigkeit, dass die Menge

linear abhängig ist.

Aufgabe 6.5 (KTA)¶

Sind die folgenden Aussagen wahr oder falsch? Begründen Sie jeweils kurz Ihre Antwort.

• (a) Jede ONB ist ein ONS.

• (b) Jedes ONS ist eine Basis in seiner Aufspannung.

• (c) Jede Basis in $\mathbb{R}^2$ ist eine ONB.

• (d) Ist $\{b_1,b_2\}$ eine ONB in einem zweidimensionalen Unterraum des $\mathbb{R}^n$, so ist die orthogonale Projektion von $b_1$ auf $b_2$ stets der Nullvektor.