Übung 7 (lineare Gleichungssysteme)

Formulieren von LGS¶

Aufgabe 7.1 (KTA)¶

Bringen Sie das folgende lineare Gleichungssystem in Matrix-Vektor-Schreibweise:

{\begin{align} 3\,x_1+x_3&=2\,x_2+2\\ 2\,x_3+x_1+x_2&=1+x_1\\ 5-x_2-x_1&=5+x_1. \end{align}}

Aufgabe 7.2 (KTA)¶

An der Innenseite einer Hauswand liegt die Oberflächentemperatur bei $U_{\mathrm{i}}=22$ [°C]. Die Temperatur an der Außenseite beträgt $U_{\mathrm{a}}=-15$ [°C]. Zur (näherungsweisen) Berechnung des Temperaturverlaufs im Inneren der Wand wird die Wand in $n$ Schichten unterteilt (parallel zur Wandoberfläche). Anhand physikalischen Gesetzmäßigkeiten kann man sich überlegen, dass die Temperatur $u_k$ in in der $k$ -ten Schicht dann gerade der Mittelwert aus den Temperaturen $u_{k-1}$ und $u_{k+1}$ der beiden benachbarten Schichten ist. Stellen Sie ein LGS zur Berechnung der Temperaturen $u_2,\ldots,u_{n-1}$ für $n=7$ auf. Die Temperaturen in den äußeren Schichten entsprechen den Oberflächentemperaturen, also $u_1=U_{\mathrm{i}}$ und $u_2=U_{\mathrm{a}}$ , sind also bekannt.

Aufgabe 7.3¶

Lösen Sie das LGS aus der vorhergehenden Aufgabe mit NumPy und visualieren Sie das Ergebnis. Gestalten Sie den Quellcode so, dass Sie die Schichtanzahl $n$ leicht verändern können.

Probieren Sie verschiedene Werte für $n$ aus. Testen Sie Ihren Code auch mit verschiedenen Oberflächentemperaturen. Leiten Sie aus der Simulation eine Vermutung über die allgemeine Form des Temperaturverlaufs in der Wand ab.

# Ihre Lösung

Lineare Unabhängigkeit¶

Aufgabe 7.4¶

Sind die Vektoren

{\begin{bmatrix}1\\7\\2\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}3\\1\\2\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}2\\-1\\1\end{bmatrix}}

linear unabhängig? Formulieren Sie zur Klärung dieser Frage ein geeignetes LGS und lösen Sie dieses mit dem Computer.

# Ihre Lösung

Aufgabe 7.5¶

Lösen Sie die folgenden Teilaufgaben mit dem Computer.

(a) Zeigen Sie, dass
$u:={\begin{bmatrix}2\\1\\-1\\0\end{bmatrix}},\quad v:={\begin{bmatrix}0\\-3\\2\\-4\end{bmatrix}},\quad w:={\begin{bmatrix}1\\-2\\4\\1\end{bmatrix}}$
linear unabhängig sind.
(b) Welcher der Vektoren
$x:={\begin{bmatrix}1\\0\\-3\\-5\end{bmatrix}},\quad y:={\begin{bmatrix}2\\-1\\6\\6\end{bmatrix}},\quad z:={\begin{bmatrix}-1\\1\\0\\5\end{bmatrix}}$
ist geeignet, zusammen mit $u,v,w$ eine Basis in $\mathbb{R}^4$ zu bilden?
(c) Ermitteln Sie die Koordinaten des Vektors ${\begin{bmatrix}0\\1\\-3\\0\end{bmatrix}}$ bzgl. der Basis aus (b).

# Ihre Lösung

Geraden und Ebenen¶

Aufgabe 7.6 (KTA)¶

Bestimmen Sie den Mittelpunkt und den Radius des Kreises, der bei Rotation des Punktes $(−2,1,1)$ um die Gerade durch

{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}+t\,{\begin{bmatrix}-1\\1\\1\end{bmatrix}},\quad t\in\mathbb{R},

beschriebene Gerade erzeugt wird.

Aufgabe 7.7 (KTA)¶

Bestimmen Sie die Koordinaten des Spiegelpunktes von $(−7,9,1)$ bezüglich der Ebene durch $5\,x-4\,y-z=12$ beschriebenen Ebene.