Übung 8 (Koordinantentransformationen)

Aufgabe 8.1 (KTA)¶

Die zwei Vektoren $a:={\begin{bmatrix}1&1&0\end{bmatrix}}^{\mathrm{T}}$ und $b:={\begin{bmatrix}2&1&1\end{bmatrix}}^{\mathrm{T}}$ spannen eine Ebene im $\mathbb{R}^3$ auf. Finden Sie eine ONB $\{u,v,w\}$, sodass $u$ und $v$ in dieser Ebene liegen und $u$ die gleiche Richtung hat wir $a$.

Hinweis: Nutzen Sie das Kreuzprodukt von Vektoren. Finden Sie zunächst $u$, dann $w$ und dann $v$.

Aufgabe 8.2 (KTA)¶

Im $\mathbb{R}^2$ wird ein neues Koordinatensystem durch Drehen des Standardkoordinatensystems um 30° gegen den Uhrzeigersinn und anschließendes Verschieben des Ursprungs in den Punkt $(2,1)$ erzeugt.

• (a) Geben Sie die Transformationvorschrift zum Erhalt der neuen Koordinaten aus den ursprünglichen Koordinaten an.

• (b) Welche Koordinaten hat der Punkt $(1,1)$ bzgl. des neuen Koordinatensystems?

Aufgabe 8.3 (KTA)¶

Im $\mathbb{R}^2$ wird ein neues Koordinatensystem durch Drehen des Standardkoordinatensystems um 60° im Uhrzeigersinn und anschließendes Verschieben des Ursprungs in den Punkt $(1,3)$ erzeugt. Geben Sie die Transformationsvorschrift für die Berechnung der neuen Koordinaten aus den Koordinaten bzgl. des Koordinatensystems aus der vorhergehenden Aufgabe an.