Übung 10 (Integralrechnung) - Mathematik I (i933)

Stammfunktionen¶

Aufgabe 10.1 (KTA)¶

Finden Sie alle (!) Stammfunktionen zu folgenden Funktionen.

(a) $f(x)=3\,x^4-4\,x^2+2$ ,
(b) $f(x)=\sqrt{x},\;x>0$ ,
(c) $f(x)=\frac{1}{x^2},\;x>0$ ,
(d) $f(x)=5\,\sin x-\cos x$ ,
(e) $f(x)=\rme^{2\,x}$ .

Aufgabe 10.2 (KTA)¶

Für welche $c\in\bbR$ konvergiert das uneigentliche Integral

\int_1^\infty x^c\diff x?

Aufgabe 10.3 (KTA)¶

Geben Sie eine Stammfunktion zu

f(x)=\frac{1}{(x^2+1)^3}

an. Nutzen Sie dazu eine Formelsammlung Ihrer Wahl, z.B. die Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen bei Wikipedia.

Aufgabe 10.4 (KTA)¶

Finden Sie eine Stammfunktion zu

f(x)=x^2+\frac{1}{x},\quad x>0,

die durch den Punkt $(1,2)$ verläuft.

Flächeninhalte¶

Aufgabe 10.5 (KTA)¶

Die durch

(x+y)^2+\sqrt{2}\,(y-x)-8-\sqrt{2}=0

beschriebene Kurve in der Ebene begrenzt gemeinsam mit der Gerade $y=x+1$ eine Fläche.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

t = np.linspace(-2.5, 2.5, 100)
x = 1 / np.sqrt(2) * (t ** 2 + t - 4 - 0.5 * np.sqrt(2))
y = 1 / np.sqrt(2) * (-t ** 2 + t + 4 + 0.5 * np.sqrt(2))

u = np.linspace(-4, 3, 2)
v = u + 1

fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(x, y, '-b')
ax.plot(u, v, '-b')
ax.axis('equal')
ax.grid()
ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('y')
plt.show()

(a) Überzeugen Sie sich, dass die Kurve symmetrisch zur Gerade $y=-x$ verläuft, indem Sie die Kurve an dieser Gerade spiegeln (Koordinatentransformation!) und die Formel in den neuen Koordinaten mit der ursprünglichen Formel vergleichen.
(b) Drehen Sie die Fläche um 45° im Uhrzeigersinn (Koordinatentransformation!). Die Formeln zur Beschreibung der Fläche sollten nun einfacher sein.
(c) Beschreiben Sie die Fläche als Normalbereich und berechnen Sie den Flächeninhalt. (Lösung: rund 4.5523)

Aufgabe 10.6¶

Berechnen Sie die Fläche zwischen dem Graph der Funktion

f:[0,2]\to\bbR,\quad f(x):=\sqrt{x}+x^2

und der $x$ -Achse auf folgende Arten und vergleichen sie die Ergebnisse.

(a) manuelles Rechnen mittels Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung,
(b) symbolisches Rechnen mit SymPy,
(c) numerisches Rechnen SciPy.

# Ihre Lösung