Übung 11 (Wahrscheinlichkeit, Zufallsgrößen)

Ereignisse und Ereignisfelder¶

Aufgabe 11.1 (KTA)¶

Bilden Sie zu folgenden Ergebnismengen $\Omega$ und Teilmengen $A$ und $B$ die Mengen $\overline{A}$, $\overline{B}$, $A\cap B$, $A\cup B$, $\overline{A\cup B}$, $\overline{A}\cap\overline{B}$, $B\cap\overline{A}$.

• (a) $\Omega=\{1,2,...,10\}$, $\quad A=\{2,3,5,7\}$, $\quad B=\{2,4,6,8,10\}$,

• (b) $\Omega=[-1,3]$, $\quad A=[0,1)$, $\quad B=(\frac{1}{2},2]$,

• (c) $\Omega=\mathbb{R}$, $\quad A=\{x\in\mathbb{R}: |x-1|<3\}$, $\quad B=[0,\infty)$.

Aufgabe 11.2 (KTA)¶

Die Arbeit eines Kraftwerkes wird durch drei unabhängig voneinander arbeitende Kontrollsysteme überwacht, die jedoch auch einer gewissen Störanfälligkeit unterliegen. Es bezeichne $S_i$ das Ereignis, dass das $i$-te System störungsfrei arbeitet ($i\in\{1,2,3\}$).

• (a) Drücken Sie folgende Ereignisse mit Hilfe der Ereignisse $S_1$, $S_2$ und $S_3$ aus.

  • $A:=$ “Alle drei Systeme arbeiten störungsfrei”

  • $B:=$ “Kein System arbeitet störungsfrei”

  • $C:=$ “Mindestens ein System arbeitet störungsfrei”

  • $D:=$ “Genau ein System arbeitet störungsfrei”

  • $E:=$ “Höchstens zwei Systeme sind gestört”

• (b) Wie viele Elementarereignisse umfasst der Ereignisraum?

• (c) Welche der unter (a) genannten Ereignisse können als Elementarereignisse betrachtet werden?

• (d) Aus wie vielen Elementarereignissen bestehen die Ereignisse $C$ und $D$?

Aufgabe 11.3 (KTA)¶

Gegen Sie eine Ergebnismenge und ein hinreichend umfangreiches Ereignisfeld für das Werfen einer Münze an.

Sind weitere Ereignisfelder denkbar, egal ob praktisch relevant oder nicht?

Wahrscheinlichkeitsmaße¶

Aufgabe 11.4 (KTA)¶

Gegeben sind der Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega,\cA,P)$ und die Ereignisse $A,B\in\cA$. Zeigen Sie

Aufgabe 11.5 (KTA)¶

Wir betrachten des Experiment “Werfen eines Würfels und einer Münze”.

• (a) Geben Sie eine geeignete Ergebnismenge $\Omega$ an.

• (b) Zeigt die Münze Wappen, so wird die doppelte Augenzahl des Würfels notiert, bei Zahl nur die einfache. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine gerade Zahl notiert wird? (Lösung: 0.75)

Diskrete Zufallsgrößen¶

Aufgabe 11.6 (KTA)¶

Eine Werte einer diskreten Zufallsgröße $X$ besitzen die folgenden Wahrscheinlichkeiten:

• (a) Bestimmen Sie den Wert der Konstanten $c$.

• (b) Ermitteln Sie die Verteilungsfunktion, den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung.

• (c) Skizzieren Sie die Verteilungsfunktion.

Aufgabe 11.7 (KTA)¶

Es werden zwei unterscheidbare Würfel geworfen. Die Zufallsgrößen $X_1$ und $X_2$ geben die geworfene Augenzahl des entsprechenden Würfels an. Die Zufallsgröße $Y:=X_1+X_2$ beschreibt die Augensumme beider Würfel.

• (a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten $P(Y=k)$ für alle möglichen Augensummen $k$ und ermitteln Sie die Verteilungsfunktion von $Y$. Skizzieren Sie die Funktion $k\mapsto P(Y=k)$ und die Verteilungsfunktion.

• (b) Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz von $Y$. (Lösung: $\mathbb{E}Y=7$, $\mathbb{V}\mathrm{ar}\,Y\approx 21.39$)

• (c) Berechnen Sie mit Hilfe der Verteilungsfunktion

  $$P(Y<5),\qquad P(Y>8),\qquad P(4\leq Y<8).$$

Kontinuierliche Zufallsgrößen¶

Aufgabe 11.8 (KTA)¶

Gegeben sei die Funktion

• (a) Bestimmen Sie den Wert der Konstanten $c$ so, dass $p(x)$ Dichtefunktion einer stetigen Zufallsgröße ist.

• (b) Ermitteln Sie die Verteilungsfunktion, den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung. Bei der Varianz genügt die Angabe des auszuwertenden Integrals. Die Auswertung selbst kann mit SymPy erfolgen. (Teillösung: $\mathbb{E}X\approx 1.56$, $\mathbb{V}\mathrm{ar}\,Y\approx 0.08$)

Aufgabe 11.9 (KTA)¶

Die Zufallsgröße $X$ besitze die folgende Verteilungsfunktion:

• (a) Berechnen Sie die zugehörige Dichtefunktion.

• (b) Berechnen Sie den Erwartungswert von $X$. (Lösung: rund 0.94)