Übung 12 (Wahrscheinlichkeitsverteilungen)

Diskrete Verteilungen¶

Aufgabe 12.1 (KTA)¶

Eine Zufallsgröße $X$ mit dem Wertebereich $\{0,1\}$ und den Wahrscheinlichkeiten $P(X=1)=p$ und $P(X=0)=1-p$ heißt Bernoulli-verteilt mit dem Parameter $p\in(0,1)$ .

(a) Geben Sie die Verteilungsfunktion von $X$ an.
(b) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von $X$ .
(c) Gegen Sie ein Beispiel für ein Zufallsexperiment an, dessen Ergebnisse Bernoulli-verteilt sind.

Aufgabe 12.2 (teilweise KTA)¶

In einem Test sind 10 Multiple-Choice-Fragen zu beantworten. Jede Frage besitzt fünf Antwortmöglichkeiten, von denen jeweils genau eine richtig ist. Ein Student überlegt, ob es sich lohnt bei allen Fragen einfach zu raten.

(a) Welche Verteilung hat die Zufallsvariable $Y$ , die die Anzahl der richtigen Antworten angibt, wenn der Student nur rät?
(b) Wie viele Fragen wird der Student im Mittel richtig beantworten, wenn er rät?
(c) Der Test ist bestanden, wenn mindestens fünf Fragen richtig beantwortet wurden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, den Test durch Raten zu bestehen? Gegen Sie eine entsprechende Formel an und nutzen Sie den Computer zu deren Auswertung. (Lösung: rund 0.03)
(d) Wo müsste die Grenze für die Anzahl der zum Bestehen notwendigen richtigen Antworten liegen, damit die Chance zum Bestehen durch Raten über 30% liegt? Formulieren Sie eine entsprechende Bedingung an die gesuchte Zahl als Ungleichung und lösen Sie die Ungleichung mit dem Computer.

Kontinuierliche Verteilungen¶

Aufgabe 12.3 (teilweise KTA)¶

Die Reparaturdauer einer defekten Maschine kann als exponentialverteilt angenommen werden. Der Erwartungswert liege bei 4 Stunden.

(a) Recherchieren Sie die zugehörige Verteilungsfunktion.
(b) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Reparaturzeit 2 Stunden nicht übersteigt.
(c) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Reparatur länger als 10 Stunden dauert?

Aufgabe 12.4 (KTA)¶

Die Lebensdauer einer Glühlampe kann als exponentialverteilte Zufallsgröße angenommen werden (vgl. vohergehende Aufgabe). Es sei bekannt, dass 75 Prozent aller Glühlampen eine Mindestleuchtdauer von 500 Stunden erreichen. Berechnen Sie den Erwartungswert der Lebensdauer. (Lösung: rund 1738)

Aufgabe 12.5 (KTA)¶

Formulieren Sie die folgenden Wahrscheinlichkeit zu einer standardnormalverteilten Zufallsgröße $X$ so um, dass zur Berechnung nur Auswertungen der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung benötigt werden.

(a) $P(X>2)$ ,
(b) $P(|X|<1.5)$ .

Aufgabe 12.6 (KTA)¶

Formulieren Sie die folgenden Wahrscheinlichkeit zu einer mit Parametern $\mu=1$ und $\sigma=3$ normalverteilten Zufallsgröße $X$ so um, dass zur Berechnung nur Auswertungen der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung benötigt werden.

(a) $P(-2\leq X<7)$ ,
(b) $P(-5\leq X\leq -2)$ ,
(c) $P(X>0)$ .

Aufgabe 12.7 (KTA)¶

Die Länge einer Strecke soll zu Übungszwecken durch Studierende in drei Abschnitten mit jeweils unterschiedlicher Technik bestimmt werden. Die tatsächlichen Längen sind 120, 55 und 20 Meter. Die drei Messungen können als Realisierungen von drei normalverteilten Zufallsgrößen $X$ , $Y$ , $Z$ angesehen werden. Die zugehörigen Varianzen können aus den Unterlagen der verwendeten Messgeräte entnommen werden. Diese sind

\sigma_X^2=4,\quad\sigma_Y^2=3,\quad\sigma_Z^2=2.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Messungen eine Gesamtstrecke von mehr als 200 Meter ergeben? (Lösung: rund 0.29)