Übung 15 (induktive Statistik) - Mathematik I (i933)

Aufgabe 15.1 (KTA)¶

Aus einer Lieferung von Kondensatoren mit einer Normkapazität von 220 µF wurden 10 Stück zufällig ausgewählt und folgende Kapazitäten (in µF) festgestellt:

217,\quad 221,\quad 220,\quad 221,\quad 219,\quad 221,\quad 220,\quad 218,\quad 222, \quad 219.

(a) Welche Verteilungsannahme für die Kapazität erscheint sinnvoll? Welche Verteilungsparameter sind bekannt, welche unbekannt?
(b) Berechnen Sie je eine Schätzung für den Erwartungswert und die Varianz der Kapazität.

(c) Berechnen Sie auf Basis der vorliegenden Stichprobe je ein zweiseitiges Konfidenzintervall für den Mittelwert und die Varianz der Kapazität zum Konfidenzniveau 0.95. Nutzen Sie dazu die Formel

\left[\overline{X}-\frac{S}{\sqrt{n}}\,t_{1-\frac{\alpha}{2},n-1},\;\overline{X}+\frac{S}{\sqrt{n}}\,t_{1-\frac{\alpha}{2},n-1}\right]

mit Stichprobenmittelwert $\overline{X}$ und Stichprobenvarianz $S^2$ . Eventuell nützliche Quantile $t_{a,b}$ der Studentschen t-Verteilung:

	$b=8$	$b=9$	$b=10$	$b=11$
$a=0.950$	1.8595	1.8331	1.8125	1.7959
$a=0.975$	2.3060	2.2622	2.2281	2.2010
$a=0.990$	2.8965	2.8214	2.7638	2.7181
$a=0.995$	3.3554	3.2498	3.1693	3.1058

(Lösung: rund $[218.75,220.85]$ )

(d) Was sagt das Konfidenzintervall über die mittlere Kapazität aller gelieferten Kondensatoren aus?

Aufgabe 15.2¶

Aus einer großen Lieferung von Bauteilen werden 80 Stück auf korrekte Funktion geprüft. Dabei erwiesen sich zwei Bauteile als defekt.

(a) Welche Verteilung kann für die Anzahl der defekten Bauteile angenommen werden? Welche Parameter enthält diese?
(b) Prüfen Sie bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5 Prozent die Hypothese, dass der Ausschussanteil höchstens 4 Prozent beträgt. Suchen Sie einen dafür passenden Test und setzen Sie diesen um.

# Ihre Lösung

Aufgabe 15.3¶

In der Richtlinie 76/211/EWG des Rates vom 20. Januar 1976 zur Angleichung der Rechtsvorschriften der Mitgliedstaaten über die Abfüllung bestimmter Erzeugnisse nach Gewicht oder Volumen in Fertigpackungen wird in Abschnitt 2.3 von Anhang II ein Verfahren zur “Prüfung des Mittelwerts der tatsächlichen Füllmengen eines Loses von Fertigpackungen” angegeben.

(a) Vergleich Sie das Vorgehen dort mit dem Vorgehen bei Hypothesentests. Gibt es Abweichungung zu unserem Vorgehen?
(b) Geben Sie die in der Richtlinie verwendete Hypothese an.
(c) Prüfen Sie die in 2.3.3 angebenen Zahlen für Annahme und Ablehnung des Loses.

# Ihre Lösung