SymPy - Ingenieurmathematik (i939)

Auch wenn wir in der Veranstaltung kaum symbolisch rechnen werden, sei hier eine kleine Einführung in SymPy gegeben. SymPy ist ein Python-Paket für symbolisches Rechnen (Ableitungen, Stammfunktionen, Formeln vereinfachen, Gleichungen lösen,...). Siehe auch Introductory Tutorial in der SymPy-Dokumentation.

import sympy

2.3.1Variablen¶

SymPy verwendet ganz normale Python-Variablen, die aber einen SymPy-spezifischen Typ haben. Variablen, die später mit SymPy verwendet werden sollen, müssen deshalb zunächst durch SymPy erstellt werden.

x = sympy.symbols('x')  # zeige Python-Variable x in Formeln als x an

print(x)
print(type(x))

x
<class 'sympy.core.symbol.Symbol'>

Mehrere Variablen können gemeinsam erstellt werden:

x, y, z = sympy.symbols('x y z')

2 * x + y ** 2 + z

2.3.2Formeln vereinfachen¶

x = sympy.symbols('x')

a = (x + 1) ** 2
b = x ** 2 + 2 * x + 1

sympy.simplify(a - b)

x = sympy.symbols('x')

sympy.simplify(sympy.cos(x) ** 2 + sympy.sin(x) ** 2)

2.3.3Grenzwerte¶

x = sympy.symbols('x')

sympy.limit(sympy.sin(x) / x, x, 0)

n = sympy.symbols('n')

sympy.limit((1 + 1 / n) ** n, n, sympy.oo)

2.3.4Ableitungen¶

x, c = sympy.symbols('x c')

sympy.diff(x ** 2 * sympy.sin(x + c), x)

2.3.5Integrale¶

x = sympy.symbols('x')

sympy.integrate(x ** 2 * sympy.sin(x), x)

x = sympy.symbols('x')

sympy.integrate(x ** 2 * sympy.sin(x), (x, 0, sympy.pi))

2.3.6Nullstellen von Polynomen¶

SymPy liefert Polynomnullstellen samt Vielfachheiten:

x = sympy.symbols('x')

sympy.roots(x ** 3 - 4 * x ** 2 + x + 6, x)

{3: 1, 2: 1, -1: 1}

x = sympy.symbols('x')

sympy.roots(x ** 3 - 3 * x ** 2 + 3 * x - 1, x)

{1: 3}

2.3.7Gleichungen lösen¶

x = sympy.symbols('x')

sympy.solve(x ** 2 - 2, x)  # löst x ** 2 - 2 = 0

[-sqrt(2), sqrt(2)]

Das Ergebnis ist eine Liste (kein Intervall!) von Lösungen.

x = sympy.symbols('x')

formel = x ** 4 - 4 * x ** 3 + 7 * x ** 2 - 16 * x + 12
sympy.solve(formel, x)

[1, 3, -2*I, 2*I]

x = sympy.symbols('x', real=True)

formel = x ** 4 - 4 * x ** 3 + 7 * x ** 2 - 16 * x + 12
sympy.solve(formel, x)

[1, 3]

x = sympy.symbols('x')

sympy.solve(sympy.sin(x), x)

[0, pi]

x = sympy.symbols('x')

sympy.solveset(sympy.sin(x), x)

2.3.8Numerisches Rechnen mit vielen Stellen¶

sympy.N('1 / 6', 50)

sympy.N('pi', 50)

2.3 SymPy