Übung 9 (Differentialrechnung)

Aufgabe 9.1 (KTA)¶

Ermitteln Sie die Ableitungen folgender Funktionen manuell.

• (a) $f(x)=5\,x^4-2\,x^3+x+4$,

• (b) $(x)=(\sin x)\,\cos x$,

• (c) $f(x)=\frac{\sin x}{x^2+2}$,

• (d) $f(x)=(\cos x)^2$,

• (e) $f(x)=(\sin x)^2\,(x^3+x)$.

Aufgabe 9.2¶

Überprüfen Sie Ihre Ergebnisse in der vorhergehenden Aufgabe mit SymPy.

Aufgabe 9.3 (KTA)¶

Stellen Sie das Taylor-Polynom vom Grad 3 für die Cosinus-Funktion an der Entwicklungsstelle $x_0=0$ auf.

Geben Sie auch die maximale Abweichung zwischen der Cosiunus-Funktion und dem gefundenen Taylor-Polynom auf dem Intervall $[0,\frac{\pi}{4}]$ an. (Lösung: rund 0.191)

Aufgabe 9.4 (KTA)¶

Zur Bestimmung des Durchmessers einer Kugel wurde zunächst deren Volumen bestimmt, indem ihre Verdrängung in einem Wasserbehälter gemessen wurde. Die Messung ergab ein Volumen von 1.45 dm³ bei einer Messunsicherheit von ±0.005 dm³. Aus diesem Wert wurde anschließend der Kugeldurchmesser mit der Formel

berechnet. Wie groß ist der zu erwartende relative Fehler des berechneten Durchmessers? (Lösung: rund 0.11%)

Aufgabe 9.5 (KTA)¶

Sollen geografische Breite und Länge in Koordinaten im $\bbR^3$ umgerechnet werden, so ergibt sich die $z$-Koordinate (in Kilometer) aus der Breite $\zeta$ (in Grad) mittels

(vgl. Beispiel: Orthografische Azimuthalprojektion). Die Breite eines zu transformierenden Punktes liegt bei $\zeta_0=53.1°$, wobei der exakte Wert auf eine Nachkommastelle gerundet wurde. Wie groß ist der durch das Runden zu erwartende absolute Fehler in der $z$-Koordinate? (Lösung: rund 3.34 km)