Übung 13 (Zufallsvektoren) - Mathematik I (i933)

Aufgabe 13.1 (KTA)¶

Ein kontinuierlicher Zufallsvektor $(X,Y)$ habe die Wahrscheinlichkeitsdichte

p(x,y):=\begin{cases}4\,x\,y-2\,(x+y)+2,&\text{für }(x,y)\in[0,1]\times[0,1],\\0,&\text{sonst}\end{cases}

(vgl. Beispiel (gleiche Randverteilungen)).

(a) Berechnen Sie die Randdichten der Komponenten $X$ und $Y$ .
(b) Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz von $X$ und $Y$ sowie $\mathbb{C}\mathrm{ov}(X,Y)$ . Nutzen Sie ggf. SymPy zur Auswertung von Integralen.
(c) Bestimmen Sie den Korrelationskoeffizienten. Sind $X$ und $Y$ unabhängig?

Aufgabe 13.2 (KTA)¶

Sei $X$ diskret gleichverteilt auf $\{-1,0,1\}$ und sei $Y:=1-X^2$ . Zeigen Sie, dass $X$ und $Y$ zwar unkorreliert, aber nicht unabhängig sind.

Aufgabe 13.3¶

Der Hersteller eines GPS-Empfängers gibt an, dass der Fehler in den angezeigten Koordinaten (in hier nicht näher spezifizierten Einheiten) als normalverteilt mit den Parametern

\mu={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},\qquad S={\begin{bmatrix}0.15&0.05\\0.05&0.02\end{bmatrix}}

angenommen werden kann.

(a) Sind die Fehler in den beiden Koordinaten unabhängig?
(b) Stellen Sie Dichtefunktion und Verteilungsfunktion am Computer grafisch dar. Nutzen Sie dazu z.B. scipy.stats.multivariate_normal.pdf (Dichtefunktion) und scipy.stats.multivariate_normal.cdf (Verteilungsfunktion).
```
# Ihre Lösung
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(c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Abweichung zwischen den angezeigten Koordinaten und den tatsächlichen Koordinaten in jeder Koordinate höchstens 0.1 beträgt? Gehen Sie zur Klärung dieser Frage wiefolgt vor:
- Skizzieren Sie den relevanten Teil des Wertebereichs der Zufallsgröße.
- Formulieren Sie dann die Lösung zunächst so, dass nur Auswertungen der Verteilungsfunktion der gegebenen Normalverteilung nötig sind.
- Werten Sie die gefundene Formel anschließend mit dem Computer aus.
```
# Ihre Lösung
```