Statt zahlenwertiger Funktionen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum kann man natürlich auch vektorwertige Funktionen betrachten. Dies bringt einige zusätzliche Aspekte bei der Darstellung von Wahrscheinlichkeitsmaßen mittels Verteilungs- und Dichtefunktionen, ändert aber nichts am grundsätzlichen Vorgehen.
Zufallsvektoren kann man auf zwei formal unterschiedliche, im Ergebnis aber völlig äquivalente Weisen einführen.
Die folgende Aussage liefert eine äquivalente Definition. Auf den Nachweis der Äquivalenz verzichten wir (ist elementar, aber länglich).
Die Unterteilung in diskrete und kontinuierliche Zufallsvektoren erfolgt völlig analog zu Zufallsgrößen. Sind alle Komponenten diskret, so spricht man von einem diskreten Zufallsvektor. Sind alle Komponenten kontinuierlich, so spricht man von einem kontinuierlichen Zufallsvektor.
Verteilungs- und Dichtefunktion hängen von mehreren Variablen ab.
Für kontinuierliche Zufallsvektoren kann man analog zu Zufallsgrößen eine Dichtefunktion einführen. Allerdings erhält man nun mehrere ineinander geschachtelte Integrale.
Aus Verteilungs- und Dichtefunktion eines Zufallsvektors kann man die Verteilungs- und Dichtefunktionen der einzelnen Komponenten erhalten. Umgekehrt ist dies nicht möglich, da durch die Verteilungsfunktion des Zufallsvektors nicht nur das Verhalten der einzelnen Komponenten beschrieben wird, sondern auch deren Abhängigkeiten untereinander.
Die Verteilungs- und Dichtefunktionen der einzelnen Komponenten werden auch als Randverteilungen bzw. Randdichten des Zufallsvektors bezeichnet.
Erwartungswert und Varianz eines Zufallsvektors werden komponentenweise betrachtet, liefern also jeweils wieder einen Vektor.
Als zusätzliche Kenngröße kommt bei Zufallsvektoren die Kovarianz hinzu. Diese liefert Informationen über das Zusammenspiel der einzelnen Komponenten. Betrachten wir zwei Komponenten, so können folgende Situationen auftreten:
Die Realisierungen weichen oft gemeinsam nach oben oder gemeinsam nach unten vom Erwartungswert ab (“Gleichläufigkeit”).
Weichen die Realisierungen der einen Komponente nach oben vom Erwartungswert ab, weichen die der anderen oft nach unten ab (“Gegenläufigkeit”).
Die Realisierungen beider Komponenten zeigen kein Muster bei der Richtung der Abweichung vom Erwartungswert.
Art und Stärke der Gleich- oder Gegenläufigkeit können als Zahl ausgedrückt werden. Dazu multipliziert man die vorzeichenbehafteten (!) Abweichungen vom Mittelwert:
Gleichläufigkeit bei einer konkreten Realisierung liefert einen positiven Wert, Gegenläufigkeit einen negativen. Allgemein, also ohne Rückgriff auf konkrete Realisierungen, kann man den Erwartungswert dieses Produkts als Maß für die Gleich- bzw. Gegenläufigkeit der Komponenten heranziehen.
Auch sieht man sofort, dass die Kovarianzmatrix eines Zufallsvektors stets symmetrisch ist.
Man führt üblicherweise noch folgenden Begriff zur Vereinfachung der Sprache ein:
Der Korrelationskoeffizient liefert genau die gleich Information über Gleich- bzw. Gegenläufigkeit wie die Kovarianz; allerdings kann man zeigen, dass der Korrelationskoeffizient immer zwischen -1 und 1 liegt, also in diesem Sinne normiert ist. Außerdem ist er einheitenlos. Dies erleichtert den Vergleich der Gleich- bzw. Gegenläufigkeit verschiedener Paare von Zufallsgrößen. Bei Werten nahe bei 1 bzw. -1 spricht man von starker (gleichläufiger bzw. gegenläufiger) Korrelation.
Man kann zeigen, dass unabhängige Zufallsgrößen stets unkorreliert sind. Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht. Hintergrund ist, dass die Kovarianz Gleich- bzw. Gegenläufigkeit nur sehr grob misst. In gewissem, hier nicht weiter vertieftem Sinne drückt die Kovarianz nur den linearen Anteil von Gleich- bzw. Gegenläufigkeit aus. Unkorreliertheit sichert daher nicht, dass die beiden Zufallsgrößen wirklich völlig unabhängig voneinander arbeiten. Die Situation ist vergleichbar mit Taylor-Polynomen bei Funktionen. Schaut man nur auf das Taylor-Polynom ersten Grades an einer Entwicklungsstelle, so erhält man nur sehr begrenzte Informationen über den Funktionsverlauf an dieser Stelle.
Der wichtigste Typ von Zufallsvektoren sind normalverteilte Zufallsvektoren. Bei diesen ist jede Komponente normalverteilt; jedoch müssen die einzelnen Komponenten nicht unabhängig sein.
Die folgende Definition verwendet den Begriff der positiv definiten Matrix, den wir bisher nicht eingeführt haben. Dessen Bedeutung ist recht tiefliegend, für uns aber nicht weiter relevant. Einzige für uns relevante Tatsache ist, dass positiv definite Matrizen stets invertierbar sind. Die formale Definition lautet: Eine symmetrische Matrix A∈Rn×n heißt positiv definit, wenn xTAx>0 für alle x∈Rn∖{0} gilt.
Beachte, dass hier x und μ Vektoren sind, das Produkt (x−μ)TS−1(x−μ) aber eine Zahl liefert.
Aufgrund der Forderung nach positiver Definitheit der Matrix S führt nicht jede symmetrische Matrix zu einer Normalverteilung.
Wie bei der eindimensionalen Normalverteilung entsprechen die Parameter der mehrdimensionalen Normalverteilung gerade Erwartungswert und (Ko-)Varianz (ohne Nachweis):
Normalverteilte Zufallsgrößen und -vektoren zeigen einige wichtige Besonderheiten. Eine davon ist die Tatsache, dass Unabhängigkeit und Unkorreliertheit äquivalent sind: