Finite-Elemente-Verfahren - Ingenieurmathematik (i939)

Finite-Elemente-Verfahren (kurz: FEM für finite elemente methods) basieren auf der schwachen Formulierung von PDE. Hauptmerkmal ist, dass für die Diskretisierung Basisfunktionen $v_k:B\to\bbR$ mit sehr kleinem Träger

\supp v_k:=\{x\in B:\;v_k(x)\neq 0\}

(1)

verwendet werden. Dadurch entsteht ein lineares Gleichungssystem mit dünn besetzter Systemmatrix, welches effizient gelöst werden kann. Für die Diskretisierung werden keine regelmäßigen Gitter von Stützstellen benötigt, sodass auch PDE auf komplexen Gebieten $B$ mittels FEM gelöst werden können.

7.6.1Ausgangspunkt¶

Gegeben sei die schwache Formulierung einer PDE in der Form

a(u,v)=b(v)\quad\text{für alle }v\in V,

(2)

wobei $a$ , $b$ , $V$ gegeben sind und $u$ gesucht ist (vgl. Abstrakte Form schwacher Formulierungen).

Weiter sei $V_n\subseteq V$ ein endlichdimensionaler Teilraum von $V$ und $\{v_1,\ldots,v_n\}$ sei eine Basis in $V_n$ , d.h. jede Funktion in $V_n$ kann als Linearkombination der Funktionen $v_1,\ldots,v_n$ dargestellt werden. Durch Einschränkung der schwachen Formulierung auf $V_n$ erhalten wir das diskretisierte Problem

A\,\underline{u}=\underline{b}

(3)

mit der rechten Seite

\underline{b}:={\begin{bmatrix}b(v_1)\\\vdots\\b(v_n)\end{bmatrix}}

(4)

und der Systemmatrix (hier auch Steifigkeitsmatrix genannt)

A:={\begin{bmatrix} a(v_1,v_1)&\cdots&a(v_n,v_1)\\ \vdots&&\vdots\\ a(v_1,v_n)&\cdots&a(v_n,v_n)\\ \end{bmatrix}}

(5)

(vgl. Diskretisierung der abstrakten Formulierung). Aus dem Vektor $\underline{u}\in\bbR^n$ erhalten wir mittels

u:=\underline{u}_1\,v_1+\cdots+\underline{u}_n\,v_n

(6)

die gesuchte Lösung der (schwachen Formulierung der) PDE.

Einziger noch zu klärender Punkt ist die konkrete Wahl der Basisfunktionen $v_k$ .

7.6.2Wahl der Basis¶

Die Wahl der Basis $\{v_1,\ldots,v_n\}$ erfolgt in zwei Schritten:

Zerlegung des Gebiets $B$ in disjunkte gleichartige Teilmengen $T_1,\ldots,T_N\subseteq B$ (die sogenannten finiten Elemente). Dabei ist mit “gleichartig” gemeint, dass zum Beispiel alle Teilmengen Dreiecke sind oder alle sind Vierecke oder alle sind Tetraeder (für $B\subseteq\bbR^3$ ) usw.
Wahl der $v_k$ so, dass die Träger $\supp v_k$ jeweils der Vereinigung von nur wenigen Teilgebieten $T_l$ entsprechen.

Die Zerlegung in Teilgebiete erfolgt stets so, dass sich nur Ecken mit Ecken berühren, nie Ecken mit Kanten oder Flächen. Die Ecken werden auch Knoten genannt und im Folgenden mit $P_1,\ldots,P_m$ bezeichnet.

Sind die $T_l$ Dreiecke, so werden die $v_k$ gern als stückweise lineare Funktionen gewählt: Zu jedem Knoten $P_k$ wird genau eine Basisfunktion gewählt. Diese ist 1 an dem Knoten und Null an allen anderen Knoten (IDV 780).

Analog kann bei Tetraedern in $\bbR^3$ vorgegangen werden. Neben stückweise linearen sind auch stückweise quadratische usw. Basisfunktionen üblich. Da Funktionen höherer Ordnung mehr Freiheitsgrade besitzen, werden je nach Bedarf zusätzliche Knoten auf den Berührungskanten oder -flächen der Teilgebiete $T_l$ eingefügt.

7.6.3Gebietszerlegung¶

Die konkrete Wahl der Zerlegung in Teilgebiete unterliegt diversen Einflussfaktoren:

erforderliche Genauigkeit der Berechnungen (ggf. höhere Knotendichte an “interessanten” Stellen),
exakte Darstellung von Materialgrenzen (diese sollten immer auf Kanten/Flächen der Zerlegung liegen),
exakte Darstellung der Grenzen zwischen verschiedenen Typen von Randbedingungen,
exakte Darstellung von Unstetigkeitsstellen in den Randbedingungen,
aus theoretischen Ergebnissen bekannte Einflüsse auf den Diskretisierungsfehler (z.B. dichtere Knoten in der Nähe konkaver Gebietsgrenzen),
höhere Knotendichte an krumlinigen bzw. krumflächigen Gebietsgrenzen (hinreichend genaue Approximation durch Polygon bzw. Polyeder).

Die Vernetzung (d.h. die Wahl der Zerlegung) kann manuell oder durch Algorithmen erfolgen. Ein verbreiteter Algorithmus ist die Delaunay-Triangulation.

Gebietszerlegungen können besser oder schlechter für FEM geeignet sein als andere. Insbesondere sollte die Form der Teilmengen hinreichend einheitlich sein. Diese Forderung kann wie folgt präzisiert werden:

Neben Algorithmen zur Erzeugung von Vernetzungen existieren auch Algorithmen zur Verbesserung von Netzen im Sinne der Isotropie (Netzglättung).

Auch können gegebene Netze weiter verfeinert werden durch weiteres Unterteilen der vorhandenen Teilgebiete (Netzverfeinerung). Insbesondere die adaptive Netzverfeinerung ist praktisch von Bedeutung: In Regionen, in denen eine vorherige Netzverfeinerung zu einer deutlichen Änderung der Lösung geführt hat, wird weiter verfeinert. In Regionen ohne nennenswerte Änderung ist keine weitere Verfeinerung nötig. Durch dieses Vorgehen können Rechenzeit und Speicherplatz gespart werden bei gleichzeitig kleinem Diskretisierungsfehler.

7.6.4Aufstellen der Steifigkeitsmatrix¶

Das Aufsteller der Steifigkeitsmatrix ist ein sehr aufwendiger Vorgang, der üblicherweise durch spezielle Software erledigt wird. Insbesondere müssen die in der schwachen Formulierung der PDE auftretenden Integrale (Bereichsintegrale, Oberflächenintegrale, Kurvenintegrale) über den Teilgebieten $T_l$ und deren Randkanten numerisch berechnet werden.

Das konkrete Vorgehen hängt stark von der betrachteten Gleichung und den Anfangs- bzw. Randbedingungen ab. Verzichten an dieser Stelle auf die Details und verweisen auf entsprechende Veranstaltungen im weiteren Studienverlauf.

Im Python-Ökosystem ist FEniCS ein mächtiges und weit verbreitetes Paket für die Umsetzung von FEM. CAM-Software bietet meist auch eine Möglichkeit für die Umsetzung einfacher FEM, z.B. FreeCAD mit dem FEM Workbench.

7.6.5Aufstellen der rechten Seite¶

Das Aufstellen der rechten Seite $\underline{b}$ im zu lösenden Gleichungssystem erfolgt analog zur Systemmatrix durch numerische Berechnung der in der Linearform $b$ enthaltenen Integrale über jedem Teilgebiet $T_l$ und ggf. Randkanten.