Überblick - Ingenieurmathematik (i939)

7.1.1Begriffe und Einordnung¶

Gleichungen, die eine Funktion mehrerer Veränderlicher mit ihren partiellen Ableitungen in Verbindung setzen, heißen partielle Differentialgleichungen (kurz: PDE für “partial differential equation”). Lösung einer PDE ist also eine Funktion.

Zusammenhänge und Gesetzmäßigkeiten großer Teile der Physik und anderer Naturwissenschaften, aber auch der Wirtschaftswissenschaften können durch partielle PDEs ausgedrückt werden. Sie sind somit eines der wichtigsten Modellierungswerkzeuge.

Die numerische (und analytische) Behandlung von PDEs ist deutlich anspruchsvoller als bei gewöhnlichen Differentialgleichungen. Insbesondere gibt es keine allgemein anwendbaren Lösungsverfahren, sondern jede Gleichung oder Klasse von Gleichungen erfordert andere Ansätze.

Wir beschränken uns hier auf wichtige, oft auftretende PDE-Typen. Insbesondere werden wir nur lineare PDEs betrachten, also solche, in denen die gesuchte Funktion und deren partielle Ableitungen nur in Linearkombinationen miteinander verknüpft werden.

Das Lösen von PDEs erfolgt heute ausschließlich numerisch. Analytisches Lösen ist nur in wenigen Spezialfällen möglich. Schon die Frage, ob überhaupt eine Lösung existiert und diese eindeutig ist, ist oft nur mit erheblichem mathematischen Aufwand zu beantworten.

7.1.2Mahnendes Beispiel (Sleipner A)¶

Als Negativbeispiel sei der Untergang der norwegischen Ölbohrplattform “Sleipner A” in der Nordsee am 23. August 1991 noch während des Baus erwähnt. Die tragende Betonkonstruktion wurde ausschließlich durch numerische Berechnungen am Computer geplant. Zum Einsatz kam die damals übliche und auch heute noch genutzte Software NASTRAN der NASA zum Lösen partieller Differentialgleichungen. Durch ungünstige Diskretisierung der zugrunde liegenden partiellen Differentialgleichung, die die in den Betonteilen wirkenden Kräfte beschreiben sollte, wurden einige Bereiche mit besonders hohen Lasten zu schwach dimensioniert. Die berechneten Lasten waren nur etwa halb so hoch wie die tatsächlichen. Die Plattform versank im 200 Meter tiefen Meer und löste durch Implosionen ein schwaches Erdbeben aus.

Die numerischen Berechnungen wurden nicht auf Plausibilität geprüft und nicht mit klassischen Berechnungsverfahren für Betontragwerke verglichen. Die Berechnungssoftware trifft hier übrigens keine Schuld. Es handelt sich um einen Fehler der Bediener, die ungeeignete Parameter gewählt haben. Für mehr Informationen zu den Ursachen des Untergangs siehe The sinking of the Sleipner A offshore platform und Die Ursache für den Totalverlust der Betonplattform Sleipner A und Verweise darin.

7.1.3PDEs erster Ordnung¶

7.1.3.1Struktur¶

Zusätzlich können noch Anfangs- oder Randbedingungen gegeben sein. Anfangsbedingungen geben die gesuchte Funktion zu einem Zeitpunkt vor, sofern eine der Variablen der Zeit entspricht. Randbedingungen geben die gesuchte Funktion auf dem Rand $\partial B$ von $B$ vor. Kombinationen (Anfangsrandbedingung) und weitere Arten von Randbedingungen (z.B. Vorgabe der Richtungsableitungen senkrecht zur Randlinie) sind in vielfältiger Weise möglich und üblich.

7.1.3.2Beispiel: Kontinuitätsgleichung¶

Ein typisches Beispiel ist die bereits behandelte Kontinuitätsgleichung.

7.1.3.3Lösungsansätze¶

PDEs erster Ordnung können auf (nichtlineare) Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen zurückgeführt werden.

Alternativ sind die später zu behandelnden Finite-Differenzen-Verfahren für das numerische Lösen einsetzbar.

7.1.4PDEs zweiter Ordnung¶

7.1.4.1Struktur¶

Merke!

Lineare PDE zweiter Ordnung haben die Form

{\begin{align} &\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}(\underline{x})\,\frac{\partial^2}{\partial x_i\partial x_j}y(\underline{x})\\ &\quad+\sum_{i=1}^n b_i(\underline{x})\,\frac{\partial}{\partial x_i}y(\underline{x})+c(\underline{x})\,y(\underline{x})+d(\underline{x})=0,\quad \underline{x}\in B. \end{align}}

(2)

Dabei sind

$\underline{x}=(x_1,\ldots,x_n)$ die Variablen, von denen die gesuchte Funktion abhängt,
$y:B\to\bbR$ die gesuchte Funktion,
$B\subseteq\bbR^n$ der Definitionsbereich der gesuchten Funktion (offene Menge),
$a_{ij},b_i,c,d$ gegebene Funktionen (Koeffizienten genannt).

Analog zu PDE erster Ordnung werden meist zusätzliche Anfangs- und Randbedingungen formuliert.

Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen sind nicht allgemein bekannt, sondern müssen im Einzelfall untersucht werden.

Die Lösungseigenschaften und geeignete Lösungsverfahren hängen wesentlich von der Koeffizientenmatrix

A(\underline{x})={\begin{bmatrix} a_{11}(\underline{x})&\cdots&a_{1n}(\underline{x})\\ \vdots&&\vdots\\ a_{n1}(\underline{x})&\cdots&a_{nn}(\underline{x})\\ \end{bmatrix}}

(3)

ab. Diese ist üblicherweise symmetrisch für alle $\underline{x}$ . In diesem Fall unterscheidet man vier Situationen:

7.1.4.2Beispiel: Potentialgleichung¶

Poisson-Gleichungen sind elliptische PDE. Sie tauchen in zahlreichen physikalischen Zusammenhängen auf (Elektrostatik, Wärmeleitung, Strömungsmechanik,...). Die gegebene Funktion $f$ modelliert dabei das Vorhandensein von Quellen und Senken, in der Elektrostatik also z.B. die Ladungsverteilung im Gebiet. $\nabla y$ ist dann der daraus resultierende Stromfluss und $\Delta y=\mathrm{div}\,\nabla y$ liefert die Quellen und Senken in diesem Fluss. Die Potentialgleichung $\Delta y=0$ modelliert ein Erhaltungsgesetz, welches für viele physikalische Prozesse gilt: “Was rein fließt, muss auch wieder raus fließen”.

Bei Dirichlet-Randbedingungen ist die Lösung eindeutig, falls sie existiert. Bei Neumann-Randbedingungen unterscheiden sich alle Lösungen nur um eine additive Konstante.

7.1.4.3Beispiel: Diffusionsgleichung¶

Wollen die Wärmeverteilung im Laufe der Zeit in einem Körper $B\subseteq\bbR^n$ bei gegebenen Anfangs- und Randbedingungen modellieren. Völlig analog zur Massenbilanz beim Ölteppichbeispiel führt hier eine Energiebilanz zur PDE

\Delta_{\underline{x}}u(\underline{x},t)-\frac{\varrho\,c}{\lambda}\,\frac{\partial}{\partial t}u(\underline{x},t)=0.

(6)

Dabei sind

$u(\underline{x},t)$ die Temperatur des Körpers am Punkt $\underline{x}$ zur Teit $t$ ,
$\varrho$ die Dichte des Materials (überall gleich),
$c$ die spezifische Wärmekapazität des Materials (überall gleich),
$\lambda$ die spezifische Wärmeleitfähigkeit des Materials (überall gleich).

Um die Temperatur zu einer Zeit $t$ berechnen zu können, muss einerseits die Temperaturverteilung zu einem früheren Zeitpunkt bekannt sein (Anfangsbedingung); andererseits muss der Wärmezufluss oder -abfluss über den Rand des Gebietes im Laufe der Zeit bekannt sein.

Merke!

Üblich Anfangsbedingung:

u(\underline{x},0)=f(\underline{x})\quad\text{für alle }\underline{x}\in B\cup\partial B

(8)

mit einer gegebenen Funktion $f$ , die nur vom Ort abhängt.

Für die Formulierung von Randbedingungen gibt es verschiedene Varianten, die auch auf verschiedenen Teilen des Randes unterschiedlich eingesetzt werden können:

Ist die Umgebungs- bzw. Oberflächentemperatur konstant über die Zeit, so kommt die sogenannte Dirichlet-Randbedingung
$u(\underline{x},t)=g(\underline{x})\quad\text{für alle }\underline{x}\in\partial B\quad\text{und alle }t\geq 0$
(9)
zum Einsatz. Zu beachten ist, dass diese kompatibel mit der Anfangsbedingung sein muss, also $f(\underline{x})=g(\underline{x})$ für $\underline{x}\in\partial B$ .
Ist nur der Wärmefluss über den Rand bekannt, z.B. bei (perfekter) Isolation oder Vorhandensein einer Wärmequelle, so kommt die Neumann-Randbedingung
$\frac{\partial}{\partial n}u(\underline{x},t)=h(\underline{x})\quad\text{für alle }\underline{x}\in\partial B\quad\text{und alle }t\geq 0$
(10)
zum Einsatz, wobei $\frac{\partial}{\partial n}u$ die Normalenableitung von $u$ in einem Randpunkt bezeichnet. Perfekte Isolation entspricht $h\equiv 0$ .
Hängt der Wärmefluss über den Rand von der Temperaturdifferenz zwischen Objekt und Umgebung ab (also insbesondere von der Objekttemperatur) wird die Robin-Randbedingung
$\frac{\partial}{\partial n}u(\underline{x},t)=\alpha(\underline{x})\,\bigl(u(\underline{x},t)-U\bigr)\quad\text{für alle }\underline{x}\in\partial B\quad\text{und alle }t\geq 0$
(11)
verwendet. Dabei sind $U\in\bbR$ die Umgebungstemperatur und $\alpha$ die Wärmeübergangsfunktion, die sich aus den konkreten physikalischen Vorgängen ergibt, die zum Wärmeabfluss führen (z.B. vorbeiströmendes Kühlmittel).

Betrachten ein einfaches 1D-Beispiel um eine Idee vom Verhalten der Lösungen der Wärmeleitungsgleichung zu bekommen.

Beispiel (isolierter Stab)

Sei $n=1$ und $B=(0,1)$ modelliere einen dünnen Stab. Alle Materialparameter seien 1, sodass die Wärmeleitungsgleichung

u_{xx}(x,t)-u_t(x,t)=0\quad\text{für alle }x\in(0,1)\quad\text{und alle }t>0

(12)

lautet. Die anfängliche Temperaturverteilung sei

u(x,0)=\cos(2\,\pi\,x)\quad\text{für alle }x\in[0,1]

(13)

und der Stab sei an den beiden enden perfekt isolierte, also

u_x(0,t)=u_x(1,t)=0\quad\text{für alle }t\geq 0.

(14)

Für diesen speziellen Fall kann man die Lösungen analytisch bestimmen (tun wir hier nicht) und erhält

u(x,t)=\cos(2\,\pi\,x)\,\rme^{-4\,\pi^2\,t}

(15)

(IDV 710).

7.1.4.4Beispiel: Wellengleichung¶

Hatten die Wellengleichung bereits am Beispiel der schwingenden Saite eingeführt.

Die Struktur der Lösungen hängt stark von der Raumdimension ab.

Beispiel (eingespannte Saite)

Eine an beiden Enden fest eingespannte Saite $B=(0,1)$ erfüllt die Randbedingungen

u(0,t)=u(1,t)=0\quad\text{für alle }t\geq 0.

(16)

Für eine gegebene Funktion $f:[0,1]\to\bbR$ kann man zu den Anfangsbedingungen

u(x,0)=f(x)\quad\text{für alle }x\in[0,1]

(17)

und

u_t(x,0)=0\quad\text{für alle }x\in[0,1]

(18)

(Saite in vorgegebener Lage, aber noch nicht in Bewegung) die Lösung der Wellengleichung

c^2\,u_{xx}(x,t)-u_{tt}(x,t)=0\quad\text{für alle }x\in[0,1]\quad\text{und alle }t\geq 0

(19)

analytisch bestimmen (tun wir hier nicht). Man erhält

u(x,t)=\sum_{k=1}^\infty a_k\,\sin(k\,\pi\,x)\,\cos(c\,k\,\pi\,t)

(20)

wobei

a_k:=2\,\int_0^1 f(x)\,\sin(k\,\pi\,x)\diff x

(21)

gerade die Sinus-Anteile der Fourier-Koeffizienten der Anfangsauslenkung $f$ sind.

Auch abseits der Wellengleichung ist die Fourier-Transformation ein wichtiges Hilfsmittel beim analytischen Lösen von PDE.

7.1.4.5Lösungsansätze¶

Je nach Gleichungstyp (elliptisch, parabolisch, hyperbolisch) und Randbedingungen kommen verschiedene analytische Lösungsansätze in Frage. Diese sind allerdings fast immer extrem aufwendig und erfordern tiefere mathematische Kenntnisse (Umgang mit Funktionenreihen,...). Teilweise lassen sich PDEs auf gewöhnliche Differentialgleichungen oder Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen zurückführen, welche dann ebenfalls mit recht hohem Aufwand zu lösen sind.

Für den praktischen Einsatz erfolgt das Lösen von PDE zweiter Ordnung ausschließlich numerisch. Die wichtigsten Verfahrensklassen sind:

Finite-Differenzen-Verfahren (einfache Herleitung, begrenzte Anwendbarkeit bei komplizierten Gebieten und anderen praktisch relevanten Situationen),
Finite-Elemente-Verfahren (erfordern mehr Aufwand in der Herleitung bzw. für das Verständnis, sind aber sehr allgemein einsetzbar).

7.1 Überblick

7.1.1Begriffe und Einordnung¶

7.1.2Mahnendes Beispiel (Sleipner A)¶

7.1.3PDEs erster Ordnung¶

7.1.3.1Struktur¶

7.1.3.2Beispiel: Kontinuitätsgleichung¶

7.1.3.3Lösungsansätze¶

7.1.4PDEs zweiter Ordnung¶

7.1.4.1Struktur¶

7.1.4.2Beispiel: Potentialgleichung¶

7.1.4.3Beispiel: Diffusionsgleichung¶

7.1.4.4Beispiel: Wellengleichung¶

7.1.4.5Lösungsansätze¶