Flächeninhalt - Mathematik I (i933)

Wir werden uns hier intensiv mit der Frage beschäftigen, was wir eigentlich unter dem Inhalt einer krummlinig begrenzten (also nahzu beliebig geformten) Fläche verstehen. Eine Fläche ist dabei eine Teilmenge des $\bbR^2$ . Nicht betrachtet werden gekrümmte Flächen, also z.B. Teilmengen von Kugeloberflächen.

Später wird sich zeigen, dass die Berechnung von Flächeninhalten eng mit Funktionen (zur Beschreibung des Randes) und Ableitungen von Funktionen verknüpft ist. Dieser zunächst nicht sichtbare Zusammenhang wird uns ein mächtiges Werkzeug zur praktischen Berechnung von Flächeninhalten nahezu beliebiger Flächen an die Hand geben.

7.1.1Problemstellung¶

Schon in der Schulmathematik wurden Flächeninhalte berechnet. Das lief nach dem Schema “suche den Typ der Fläche in der Formelsammlung und nutze die dort angebene Formel für den Flächeninhalt”. Aber was verstehen ganz allgemein unter “Flächeninhalt”? Wie erklären wir jemandem, was zu tun ist, wenn beispielsweise der Flächeninhalt einer eiförmigen Fläche zu berechnen ist?

Aus praktischer Sicht können wir den Flächeninhalt einer beliebigen Fläche beschreiben als “Menge an Farbe, die zum Anstreichen der Fläche benötigt wird”. Oder etwas präziser (da die Schichtdicke der Farbe nicht klar ist): Man versehe die Fläche mit einem 1 Zentimeter hohen Rand und fülle die Fläche bis zur Oberkante des Randes mit Wasser. Die benötigte Wassermenge in Kubikzentimenter ist dann gerade (per Definition!) der Flächeninhalt in Quadratzentimeter. Praktisch ist das Problem also durchaus lösbar.

Offen ist, wie man die benötigte Wassermenge im Vorfeld berechnen kann. Für sehr große oder sehr kleine Flächen ist die beschriebene Form der experimentellen Inhaltsbestimmung kaum umsetzbar. Auch ist der Aufwand recht groß (gekrümmten Rand bauen; alles muss dicht sein usw.).

Das Frage der sinnvollen, allgemeinen Definition des Inhalts einer Fläche wurde erst um 1900 zufriedenstellend beantwortet. Für mathematische Verhältnisse ist dieses Thema also noch regelrecht “neu”.

7.1.2Idee¶

Die Grundidee zur mathematisch exakten Definition des Begriffs “Flächeninhalt” ist folgende.

Zerlege die Fläche in Teilflächen mit berechenbarem Flächeninhalt.
Addiere die Inhalte aller Teilflächen.

Für manche Flächen ist dies leicht machbar. Für andere jedoch werden sehr viele Teilflächen benötigt oder eine Zerlegung ist nicht möglich, da der krummlinige Rand beim Zerlegen nicht verschwindet und stets nicht berechenbare Teilflächen übrig bleiben.

Deshalb modifizieren wir die Idee etwas: Zum einen legen wir uns auf eine möglichst einfache Form von Teilflächen fest, um die Berechnung der einzelnen Flächeninhalte zu ermöglichen. Die einfachste Fläche mit Blick auf Inhaltsberechnung ist das Quadrat. Zum anderen fordern wir nicht mehr, dass die Fläche vollständig in Teilflächen zerlegt werden muss, sondern wir überdecken die Fläche mit Quadraten gleicher Größe und zählen wie viele Quadrate vollständig innerhalb der Fläche liegen und wie viele Quadrate wenigstens einen Teil der Fläche enthalten. Die Summen der jeweiligen Quadratinhalte liefern den Flächeninhalt einer etwas kleineren und einer etwas größeren Fläche. Je kleiner die Quadrate sind, desto näher werden sich diese beiden Werte kommen. Betrachten wir den Grenzübergang “Kantenlänge gegen Null”, so sollten beide Werte übereinstimmen. Diese Zahl betrachten wir nun als Flächeninhalt der unregelmäßigen Fläche.

unregelmäßige Fläche mit gleichgroßen quadraten überdeckt — Die roten Quadrate liegen vollständig im Inneren der Fläche. Die blauen Quadrate überlappen mit der Fläche. Der Flächeninhalt der grauen Fläche muss zwischen der Summe der Flächen der roten Quadrate und der Summe der Flächen der roten und blauen Quadrate liegen. Je kleiner die Quadrate, desto kleiner der Unterschied zwischen beiden Schranken.

7.1.3Umsetzung¶

Setzen die Idee zur Definition des Flächeninhalts beliebiger Flächen nun mathematisch exakt um. Zu $F\subseteq\bbR^2$ ist also eine Zahl $A(F)\geq 0$ gesucht, die unserer intuitiven Vorstellung von “Flächeninhalt” entspricht. Insbesondere soll $A(F)$ für einfache Flächen $F$ natürlich die bisher mittels konkreter Formeln berechneten Flächeninhalte liefern.

Zur Überdeckung von $F$ verwenden wir ein Raster aus achsenparallelen Quadraten $[x,x+l]\times[y,y+l]$ mit Kantenlänge $l>0$ , welches der Einfachheit halber so ausgerichtet ist, dass der Punkt $(0,0)$ gerade ein Eckpunkt eines der Quadrate ist. Die $x$ - und die $y$ -Koordinaten aller Eckpunkte aller Quadrate sind also ganzzahlige Vielfache von $l$ .

Mit $i(l)\in\bbN$ bezeichnen wir die Anzahl von Quadraten, die vollständig von $F$ überdeckt werden (innere Überdeckung). Mit $a(l)\in\bbN$ bezeichnen wir die Anzahl von Quadraten, die mindestens einen Punkt von $F$ enthalten (äußere Überdeckung). Offensichtlich gilt also stets $i(l)\leq a(l)$ . Damit beide Zahlen existieren (also nicht “unendlich” sind), müssen wir unsere Betrachtungen auf beschränkte Flächen eingrenzen, d.h. auf solche Flächen $F$ , für die es eine Zahl $c\in\bbR$ gibt mit

\sqrt{x^2+y^2}\leq c\quad\text{für alle }(x,y)\in F.

(1)

Die Werte $i(l)\,l^2$ und $a(l)\,l^2$ sind gerade die Flächeninhalte der inneren und der äußeren Überdeckung zur Kantenlänge $l$ .

7.1.4Beispiele und Einordnung¶

Beispiel (Flächeninhalt eines Rechtecks)

Wenn unsere Definition von “Flächeninhalt” sinnvoll ist, sollten wir damit die üblichen Formeln für Flächeninhalte von einfachen Flächen herleiten können. Tun dies für das Rechteck $[0,c]\times[0,d]$ .

Für festes $l>0$ sei $m(l)\in\bbN$ die Anzahl der Quadratspalten der inneren Überdeckung. Entsprechend bezeichne $n(l)\in\bbN$ die Anzahl der Quadratzeilen. Es gilt also $i(l)=m(l)\,n(l)$ . Die Zahlen $m(l)$ und $n(l)$ können wir mittels der Kantenlängen $c$ und $d$ des Rechtecks ausdrücken:

m(l)=\left\lfloor\frac{c}{l}\right\rfloor\quad\text{und}\quad n(l)=\left\lfloor\frac{d}{l}\right\rfloor.

(3)

Dabei bezeichnet $\lfloor\ldots\rfloor$ das Abrunden des eingeschlossenen Wertes. Für den Grenzwert des Inhalts der inneren Überdeckung erhalten wir

{\begin{align} \lim_{l\to 0}i(l)\,l^2 &=\lim_{l\to 0}\left\lfloor\frac{c}{l}\right\rfloor\,\left\lfloor\frac{d}{l}\right\rfloor\,l^2\\ &\geq\lim_{l\to 0}\left(\frac{c}{l}-1\right)\,\left(\frac{d}{l}-1\right)\,l^2\\ &=\lim_{l\to 0}\,(c-l)\,(d-l) =c\,d. \end{align}}

(4)

Analog folgt

{\begin{align} \lim_{l\to 0}a(l)\,l^2 &=\lim_{l\to 0}\left\lceil\frac{c}{l}\right\rceil\,\left\lceil\frac{d}{l}\right\rceil\,l^2\\ &\leq\lim_{l\to 0}\left(\frac{c}{l}+1\right)\,\left(\frac{d}{l}+1\right)\,l^2\\ &=\lim_{l\to 0}\,(c+l)\,(d+l) =c\,d, \end{align}}

(5)

wobei $\lceil\ldots\rceil$ für das Aufrunden des eingeschlossenen Wertes steht.

Aus

c\,d\leq\lim_{l\to 0}i(l)\,l^2\leq\lim_{l\to 0}a(l)\,l^2\leq c\,d

(6)

folgt nun die Gleichheit beider Grenzwerte. Der Flächeninhalt ist entsprechend unserer Definition des Begriffs also wie erwartet $c\, d$ .

Bereits bei einem Rechteck ist die konkrete Berechnung des Flächeninhalts recht mühsam. Bei komplexeren Fläche ist die Berechnung direkt über die Definition kaum machbar. Deshalb werden wir uns im nächsten Unterkapitel ein alternatives Vorgehen überlegen.

Die Konstruktion des Flächeninhalts auf Basis der Jordan-Messbarkeit kann völlig analog auch in drei oder mehr Dimensionen durchgeführt werden. In $\bbR^3$ erhält man mittels Überdeckungen aus Würfeln auf diese Weise eine Definition des Begriffs “Volumen”, die auch sehr unregelmäßige Körper mit einschließt.