Normalbereiche - Mathematik I (i933)

Für die praktische Berechnung von Flächeninhalten unregelmäßig geformter Flächen müssen wir zwei Probleme lösen:

Die Fläche muss mittels Formeln beschreibbar sein.
Die Berechnung des Flächeninhalts muss auch bei komplexeren Flächen mit vertretbarem Aufwand durchführbar sein.

In diesem Unterkapitel widmen wir uns vor allem dem ersten Problem. Die Lösung des zweiten Problems bereiten wir vor, gehen sie aber erst im nächsten Unterkapitel vollständig an.

7.2.1Begriff¶

Wir beschränken alle nachfolgenden Betrachtungen auf folgenden Typ von Flächen:

Man kann auch Normalbereiche bzgl. der $y$ -Achse einführen. Diese können jedoch durch drehen um 90° oder durch Spiegelung an der Gerade $y=x$ stets in Normalbereiche bzgl. der $x$ -Achse überführt werden, sodass deren weitere Betrachtung hier unterbleibt.

7.2.2Beispiele¶

7.2.3Flächeninhalt von Normalbereichen¶

Berechnen nun den Flächeninhalt eines Normalbereichs

B:=\bigl\{(x,y)\in\bbR^2:\;a\leq x\leq b,\;f(x)\leq y\leq g(x)\bigr\}

(7)

auf Basis unserer Definition des Flächeninhalts. Der Einfacheit halber nehmen wir zunächst an, dass $f$ und $g$ nur positive Werte annehmen. Dann können wir den Flächeninhalt von $B$ als Differenz der Flächeninhalte zwischen $g$ und der $x$ -Achse sowie $f$ und der $x$ -Achse ausdrücken. Unsere Aufgabe beschränkt sich damit auf das Berechnen des Flächeninhalts zwischen der $x$ -Achse und einem Funktionsgraph. Beschreiben das Vorgehen hier für die Funktion $f$ .

Um die Formeln einfach zu halten, gehen wir von $a=0$ aus, was durch Verschieben des Bereichs stets problemlos erreicht werden kann, also keine inhaltliche, sondern nur eine formale Einschränkung darstellt. In der Mathematik ist an dieser Stelle die Formulierung “Ohne Beschränkung der Allgemeinheit nehmen wir $a=0$ an” üblich.

Wir überdecken den Bereich $B$ wie im vorhergehenden Unterkapitel mit einem Raster aus Quadraten der Kantenlänge $l>0$ und ermitteln die Anzahlen $i(l)$ und $a(l)$ der Quadrate in der inneren und in der äußeren Überdeckung.

Man kann sich relativ leicht überlegen (tun wir hier nicht), dass $\lim_{l\to 0}i(l)\,l^2$ genau dann existiert, wenn $\lim_{n\to\infty}i(l_n)\,l_n^2$ für irgendeine Folge $(l_n)_{n\in\bbN}$ mit $\lim_{n\to\infty}l_n=0$ gilt. Außerdem sind im Falle der Existenz die beiden Grenzwerte gleich. Analoges gilt für $a(l)\,l^2$ . Diese Feststellung vereinfacht das weitere Vorgehen, da wir statt dem Grenzwert $\lim_{l\to 0}i(l)\,l^2$ einer Funktion bzgl. $l$ nur den Grenzwert $\lim_{n\to\infty}i(l_n)\,l_n^2$ einer Zahlenfolge betrachten müssen.

Wählen wir nun $l_n:=\frac{b}{n}$ , so gilt offensichtlich $\lim_{n\to\infty}l_n=0$ . Innere und äußere Überdeckung für ein $n$ haben stets gleich viele Spalten, da $\lfloor\frac{b}{l_n}\rfloor=\lfloor n\rfloor=n=\lceil n\rceil=\lceil\frac{b}{l_n}\rceil$ gilt. Anders ausgedrückt: $b$ liegt immer genau auf der Grenze zwischen zwei Quadratspalten. Entsprechend haben Unter- und Obersumme die gleiche Anzahl Summanden.

Funktionsgraph mit innerer und äußerer Überdeckung — Die Oberkanten der äußeren Überdeckung (blau) liegen vollständig oberhalb des Funktionsgraphs. Die Oberkanten der inneren Überdeckung (rot) liegen vollständig unterhalb des Funktionsgraphs.

Beim Summieren der Quadratflächen gehen wir spaltenweise vor. Die Anzahl der Spalten ist $n$ . Die Spalten seien von links nach rechts mit $1,2,\ldots,n$ nummeriert. Die Anzahl der Quadrate in Spalte $k$ hängt offensichtlich von den Funktionswerten von $f$ im Bereich dieser Spalte ab. Sei also $I_k(n):=[(k-1)\,l,\;k\,l]$ das Intervall von $x$ -Koordinaten zur $k$ -ten Spalte. Dann ist die Anzahl Quadrate der inneren Überdeckung in Spalte $k$ gerade

\left\lfloor\frac{\min\limits_{x\in I_k(n)}f(x)}{l_n}\right\rfloor

(8)

und wir erhalten für den Grenzwert des Flächeninhalts der inneren Überdeckung

\lim_{n\to\infty}i(l_n)\,l_n^2=\lim_{n\to\infty}\,\left(l_n\,\sum_{k=1}^n\min_{x\in I_k(n)}f(x)\right),

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sofern der rechte Grenzwert existiert (Video 675, Notizen dazu). Der Ausdruck im rechten Grenzwert wird auch als Riemannsche Untersumme zur Unterteilungsfeinheit $n$ bezeichnet.

Völlig analog erhalten wir für die äußeren Überdeckungen

\lim_{n\to\infty}a(l_n)\,l_n^2=\lim_{n\to\infty}\,\left(l_n\,\sum_{k=1}^n\max_{x\in I_k(n)}f(x)\right).

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Der Ausdruck im zweiten Grenzwert wird auch als Riemannsche Obersumme zur Unterteilungsfeinheit $n$ bezeichnet.

Machen wir die Verschiebung zu $a=0$ rückgängig, so können wir folgende Definition formulieren:

Merke

Sei $f:[a,b]\to\bbR$ stetig und bezeichne $I_k(n):=\bigl[a+(k-1)\,\frac{b-a}{n},\;a+k\,\frac{b-a}{n}\bigr]$ für $k=1,\ldots,n$ die Teilintervalle von $[a,b]$ bei Unterteilung in $n$ gleich große Teile. Existieren die Grenzwerte

\lim_{n\to\infty}\,\left(\frac{b-a}{n}\,\sum_{k=1}^n\min_{x\in I_k(n)}f(x)\right)

(11)

und

\lim_{n\to\infty}\,\left(\frac{b-a}{n}\,\sum_{k=1}^n\max_{x\in I_k(n)}f(x)\right)

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der Riemannschen Unter- und Obersummen und stimmen die beiden Grenzwerte überein, so heißt $f$ Riemann-integrierbar. Der Wert der beiden (gleichen) Grenzwerte heißt dann Riemann-Integral von $f$ über $[a,b]$ und entspricht gerade dem vorzeichenbehafteten Flächeninhalt zwischen dem Graph von $f$ und der $x$ -Achse.

Als Symbol für das Riemann-Integral wird aus historischen Gründen und auch aus Gründen, die später erhellt werden, das Symbol

\int\limits_a^b f(x)\diff x

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verwendet.

Mit “vorzeichenbehaftet” meinen wir hier, dass das Riemann-Integral negativ ist, wenn der Funktionsgraph vollständig unterhalb der $x$ -Achse liegt. Schneidet die Funktion die $x$ -Achse, so gehen Flächenanteile unterhalb der $x$ -Achse negativ in das Riemann-Integral ein. Bei gleichen Anteilen ober- und unterhalb der $x$ -Achse wird das Riemann-Integral also Null sein.

Mit Blick auf den Flächeninhalt von Normalbereichen (mit Untergrenze $f$ und Obergrenze $g$ ) ist diese Vorzeicheneigenschaft des Riemann-Integrals sehr nützlich. Sie führt dazu, dass die Differenz

\int\limits_a^b g(x)\diff x-\int\limits_a^b f(x)\diff x,

(14)

also der Flächeninhalt des Normalbereichs, stets positiv ist (wenn $g$ überall oberhalb von $f$ verläuft). Das gilt insbesondere auch, wenn der Normalbereich unterhalb der $x$ -Achse liegt (also beide Integrale negativ sind), und auch, wenn die $x$ -Achse durch den Normalbereich verläuft.

7.2.4Hinweise zum Riemann-Integral¶

Man überlegt sich leicht anhand der Eigenschaften von Grenzwerten, dass

\int\limits_a^b f(x)\diff x+\int\limits_a^b g(x)\diff x=\int\limits_a^b f(x)+g(x)\diff x

(15)

und

\lambda\,\int\limits_a^b f(x)\diff x=\int\limits_a^b \lambda\,f(x)\diff x\quad\text{für }\lambda\in\bbR

(16)

gelten. Außerdem gilt

\int\limits_a^b f(x)\diff x+\int\limits_b^c f(x)\diff x=\int\limits_a^c f(x)\diff x

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(ebenfalls leicht einzusehen).

Die praktische Berechnung von Riemann-Integralen klären wir im nächsten Unterkapitel. Obwohl der Weg über Unter- und Obersummen einfacher ist als über innere und äußere Überdeckungen aus Quadraten, ist der Weg immer noch zu mühsam.

Das Riemann-Integral wird oft einfach als Integral bezeichnet. Zur Unterscheidung von einem im nächsten Unterkapitel einzuführenden, eng verbundenen Begriff, spricht man auch vom bestimmten Integral.

7.2.5Uneigentliche Riemann-Integrale¶

Gelegentlich trifft man auf Flächen, die unbeschränkt sind, aber in gewissem Sinne einen endlichen Flächeninhalt besitzen. Solchen Flächen werden wir beispielsweise in der Wahrscheinlichkeitsrechnung begegnen. Praktisch sollten solche Flächen eigentlich nicht relevant sein, da die vom Menschen wahrnehmbare Welt eine beschränkte Menge ist; somit sind auch alle Flächen und Körper darin beschränkt. Bei der vereinfachenden Modellierung gewisser Sachverhalte tauchen dann aber doch solche unbeschränkten Flächen auf. Eine ähnliche Situation hatten wir schon bei Polstellen beschrieben (vgl. Beispiel (Massepunkt)).

Wir beschränken uns hier auf den einfachsten Fall, nämlich die Situation, dass der Definitionsbereich einer Funktion $f$ , die zusammen mit der $x$ -Achse eine Fläche begrenzt, unbeschränkt ist. Ein andere Variante unbeschränkter Flächen mit endlichem Inhalt tritt bei Polstellen am Rand oder im Inneren des Definitionsbereichs einer Funktion auf. Diesen Fall kann man völlig analog handhaben, sodass wir nicht näher darauf eingehen.

7.2.5.1Einseitig unbeschränkter Definitionsbereich¶

Wie so oft in der Mathematik, führt man eine komplexere auf eine einfachere Situation zurück. Den Flächeninhalt komplexerer Flächen hatten wir beispielsweise über den Grenzwert der Flächeninhalte von aus Quadraten zusammengesetzten Flächen erklärt. Den Flächeninhalt unbeschränkter Flächen erklären wir nun wiederum als Grenzwert des Inhalts gewisser beschränkter Flächen:

Es werden also die (vorzeichenbehafteten) Inhalte immer größer werdender Teilflächen berechnet. Konvergiert diese Folge von Flächeninhalten, so kann man auch der unbeschränkten Gesamtfläche sinnvoll einen Flächeninhalt zuordnen. Bei bestimmter Divergenz kann man die Werte $\infty$ bzw. $-\infty$ als Flächeninhalt ansehen. Bei unbestimmter Divergenz ist überhaupt kein sinnvoller Inhaltsbegriff mehr denkbar.

Beispiele für uneigentliche Integrale schauen wir uns erst im nächsten Unterkapitel an, wenn wir ein einfaches Verfahren zur Berechnung von Integralen kennengelernt haben.

7.2.5.2Beidseitig unbeschränkter Definitionsbereich¶

Ist der Definitionsbereich beidseitig unbeschränkt, also ganz $\bbR$ , so gibt es zwei verschiedene Möglichkeiten zur Definition eines Flächeninhalts. Entweder man teilt die Fläche in zwei Teilflächen und betrachtet jede Teilfläche für sich und addiert die beiden Inhalte dann, oder man führt den Grenzübergang symmetrisch an beiden Enden des Definitionsbereichs durch. Da beide Varianten gebräuchlich sind, führen wir hier beide ein.

Existiert das uneigentliche Riemann-Integral, so existiert auch der Cauchysche Hauptwert und beide stimmen überein. Umgekehrt muss dies nicht gelten.

Beispiel

Für die Funktion $f:\bbR\to\bbR$ , $f(x):\frac{x}{1+x^2}$ ist aus Symmetriegründen der Cauchysche Hauptwert offensichtlich Null. Jedoch ist die Funktion nicht uneigentlich Riemann-Integrierbar, da man zeigen kann, dass die beiden einseitigen uneigentlichen Integrale (bestimmt) divergieren.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-10, 10, 200)
y = x / (1 + x ** 2)

fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(x, np.zeros_like(x), '-k')  # x-Achse
ax.plot(x, y, '-b')
ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('f(x)')
ax.grid()
ax.set_xlim(-10, 10)
plt.show()

Nebenbemerkung

Für die Definition des Inhalts allgemeiner unbeschränkter Flächen kann man den Gedanke des Cauchyschen Hauptwerts nutzen: Man bilder den Durchschnitt der Fläche mit größer werdenen Kreisscheiben und betrachtet den Grenzwert der Flächeninhalte der (beschränkten) Durchschnittsflächen.

In Formeln: Bezeichnet $K(r)\subseteq\bbR^2$ die Kreisscheibe mit Radius $r$ um den Ursprung, so kann der Inhalt $A(F)$ einer unbeschränkten Fläche $F\subseteq\bbR$ als

A(F):=\lim_{r\to\infty}A\bigl(F\cap K(r)\bigr)

(22)

erklärt werden, sofern alle Durchschnitte $F\cap K(r)$ Jordan-messbar sind und der Grenzwert existiert.

Berechnet man diesen Grenzwert für eine beschränkte Fläche, so erhält man den korrekten Flächeninhalt, da für hinreichend großes $r$ die Fläche vollständig in allen Kreisscheiben enthalten ist.