Deskriptive Statistik - Mathematik I (i933)

Die deskriptive Statistik ist ein weites Feld, benötigt aber fast ausschließlich triviale Mathematik (bzw. nur “Rechnen”). Die meisten Verfahren sind intuitiv klar und lassen sich bei Bedarf leicht aus der Literatur erarbeiten.

9.2.1Kenngrößen¶

Zur Beschreibung einer konkreten Stichprobe $(x_1,\ldots,x_n)$ zu einer durch die Zufallsgröße $X$ beschriebenen Grundgesamtheit können verschiedene Kenngrößen herangezogen werden.

Der empirische Erwartungswert (oder Mittelwert) ist das arithmetische Mittel der Stichprobenwerte:

\overline{x}:=\frac{1}{n}\,\sum_{k=1}^n x_k.

(1)

Die empirische Varianz ist

\frac{1}{n^2}\,\sum_{k=1}^n(x_k-\overline{x})^2.

(2)

Der Median der Stichprobe ist das Element, welches nach Sortieren der Elemente in der Mitte steht. Bei geradem Stichprobenumfang ist der Median das arithmetische Mittel der beiden mittleren Elemente.

Darüber hinaus gibt es noch eine Reihe weiterer Kenngrößen zur Beschreibung von (großen) Stichproben durch einzelne Zahlen, auf die wir hier nicht weiter eingehen. Siehe Wikipedia-Artikel Parameter (Statistik) für einen Überblick.

9.2.2Histogramme¶

Ein Histogramm ist eine (meist grafische) Zusammenfassung der Werte einer Stichprobe. Die einzelnen Werte werden entsprechend ihrer Größe in Klassen eingeteilt. Die Anzahl der Elemente pro Klasse gibt Aufschluss über die Werteverteilung ohne jeden einzelnen Wert direkt betrachten zu müssen.

Beispiel

Zur Demonstration erzeugen wir uns eine Stichprobe in Form von $n=1000$ Zufallszahlen (statt Umfrageergebnisse oder Messwerte). Diese sortieren wir in 10 gleich breite Klassen ein und stellen die Klassengrößen als Balkendiagramm dar.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

rng = np.random.default_rng(0)  # Zufallszahlengenerator

# Stichprobe erzeugen
n = 1000
x = rng.normal(0, 1, n)

# Histogrammdaten erzeugen (Klassengrenzen und -größen)
counts, edges = np.histogram(x, bins=10)

# Plot
fig, ax = plt.subplots(figsize=(9, 5))
ax.bar(
    edges[:-1], counts,  # Daten
    align='edge', width=edges[1]-edges[0],  # Balkenposition und -breite
    edgecolor='black'  # Balkenränder zeigen
)
ax.set_xticks(edges)  # Label an Klassengrenzen
ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('Anzahl')
plt.show()

Sind die Daten zweidimensional, d.h. die Grundgesamtheit wird durch einen Zufallsvektor $(X,Y)$ repräsentiert und jedes Stichprobenelement ist ein Punkt in der Ebene, so kann man auch zweidimensionale Histogramme betrachten. Diese Form der Visualisierung, die insbesondere bei Geodaten gern verwendet wird, ist als Heat-Map in der Literatur zu finden.

9.2 Deskriptive Statistik

9.2.1Kenngrößen¶

9.2.2Histogramme¶