9.1 Überblick

9.1.1Abgrenzung¶

Die Statistik als Teilgebiet der Mathematik befasst sich mit der systematischen Untersuchung von und der Arbeit mit gesammelten Daten. Im Kontext sehr umfangreicher Datensammlungen und beim Einsatz moderner computergestützter Verfahren (z.B. maschinelles Lernen) spricht man heute auch von Data Science.

Die klassische Statistik wird unterschieden in deskriptive und induktive Statistik:

• Die deskriptive Statistik (auch: beschreibende Statistik) extrahiert beschreibende und zusammenfassende Informationen aus Datensammlungen. Dies kann im einfachsten Fall der Mittelwert einer Größe über alle gesammelten Datensätze sein oder man stellt beispielsweise Verteilungsinformationen zu einer Größe zusammen.

• Die induktive Statistik (auch: schließende Statistik) beschäftigt sich mit der Frage, wie man aus eher kleinen Datensammlungen Rückschlüsse auf Eigenschaften einer viel größeren, nicht direkt untersuchten Gesamtheit ziehen kann. Insbesondere wird auch die Zuverlässigkeit solcher Schlüsse bewertet. Beispielsweise möchte man gern aus der unter Umständen zerstörenden Untersuchung von wenigen in einer Fabrik produzierten Teilen Rückschlüsse auf die Fehlerquote in der Gesamtproduktion ziehen.

9.1.2Typische Fragestellungen¶

Die Methoden der induktiven Statistik liefern vor allem Anworten auf folgende Fragestellungen:

• Punktschätzung: Welche Werte haben die Parameter der den gesammelten Daten zugrundeliegenden Verteilung wahrscheinlich?

• Konfidenzintervalle: In welchen Bereichen liegen die Parameter der den gesammelten Daten zugrundeliegenden Verteilung mit hoher Wahrscheinlichkeit?

• Hypothesentests: Wie sicher können wir sein, dass eine gewisse Wahrscheinlichkeitsverteilung den gesammelten Daten zugrundeliegt? Wie sicher können wir sein, dass die Verteilungsparameter gewisse Bedingungen erfüllen (z.B. unter/obere Schranken)?

9.1.3Grundbegriffe¶

Die zu untersuchende Menge an Objekten wird als Grundgesamtheit bezeichnet. Damit kann manchmal eine konkrete (meist sehr umfangreiche) Menge gemeint sein, manchmal aber auch eine nur unscharf abgegrenzte Menge von zu untersuchenden Objekten. Zum Beispiel kann man die gesamte Menschheit als Grundgesamtheit bei Untersuchungen zur globalen Vermögensverteilung ansehen. Hingegen ist beispielsweise die Grundgesamtheit bei der Qualitätskontrolle von produzierten Mikrochips weniger scharf abgegrenzt. Sollen sich die Untersuchungen auch auf zukünftig noch zu produzierende Chips erstrecken? Wie weit in die Vergangenheit behalten die erzielten Erkenntnisse Gültigkeit?

Aus mathematischer Sicht ist die Grundgesamtheit eine Zufallsgröße $X$. Das “Untersuchen der Grundgesamtheit” entspricht hier der Frage nach der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$. Dabei muss nicht immer die Verteilung im Detail gesucht sein, sondern oft ist man nur an einigen Parametern der Verteilung oder dem Verteilungstyp interessiert.

Grundlage für das Untersuchen der Grundgesamtheit bildet eine Stichprobe. Eine (konkrete) Stichprobe ist eine endliche Menge von Realisierungen der Zufallsgröße $X$. Die Anzahl der Realisierungen heißt Stichprobenumfang. Praktisch wird man eine Stichprobe durch Messungen oder Umfragen bekommen. Allgemein gilt: Je größer der Stichprobenumfang, desto mehr und desto zuverlässigere Informationen wird man aus der Stichprobe über die Grundgesamtheit erhalten können.

Eine (konkrete) Stichprobe vom Umfang $n$ kann man auch als Realisierung eines Zufallsvektors $(X_1,\ldots,X_n)$ ansehen, wobei alle Komponenten $X_k$ unabhängig voneinander und identisch wie $X$ verteilt sind. Man sagt auch: die $X_k$ sind Zufallsgrößen vom Typ i.i.d. (independently and identically distributed). Den Zufallsvektor $(X_1,\ldots,X_n)$ bezeichnet man ebenfalls als (allgemeine) Stichprobe.

Dass die Komponenten einer Stichprobe unabhängig sind, ist mehr eine Annahme als gesichertes Wissen. Beim Prüfen der Füllmenge von maschinell befüllten Flaschen könnte eine Minderfüllung beispielsweise systematisch zu einer Überfüllung einer späteren Flasche führen. Kann man aus Kenntnis des Sachverhalts mit hinreichender Zuverlässigkeit sagen, dass solche gegenseitigen Beeinflussungen der Stichprobenkomponenten nicht oder nur in sehr geringem Maß stattfinden, so ist die Annahme der Unabhängigkeit der Stichprobenkomponenten gerechtfertigt. Ohne diese Annahme sind die meisten Werkzeuge der induktiven Statistik nicht einsetzbar.