Aperiodische Funktionen - Ingenieurmathematik (i939)

Die Fourier-Transformation für aperiodische (d.h. nicht periodische) Funktionen überführt ein auf $\bbR$ definierte Funktion wieder in eine auf $\bbR$ definierte Funktion.

5.2.1Definition¶

Die folgende Definition liefert wohldefinierte Ausdrücke, wenn die zu transformierende Funktion $f:\bbR\to\bbC$ absolut integrierbar ist, d.h. wenn

\int_{-\infty}^\infty|f(x)|\diff x<\infty

(1)

gilt. Dabei handelt es sich streng genommen um ein so genanntes Lebesgue-Integral, welches jedoch in allen praktisch relevanten Fällen mit dem üblichen (uneigentlichen) Riemann-Integral übereinstimmt.

Da die Fourier-Transformierte ohnehin komplexwertig sein wird, können wir für die zu transformierende Funktion $f$ ohne Mehraufwand ebenfalls komplexe Funktionswerte zulassen.

Die Fourier-Transformierte $\hat{f}$ enthält sämtliche Informationen über die ursprüngliche Funktion $f$ . Man kann somit $f$ aus $\hat{f}$ zurückgewinnen. Mit anderen Worten: Die Fourier-Transformation $\mathcal{F}$ ist invertierbar.

Die Forderung nach absoluter Integrierbarkeit von $\hat{f}$ resultiert aus der Tatsache, das die Menge der absolut integrierbaren Funktionen nicht die natürliche Grundmenge für die Fourier-Transformation ist. Besser geeignet als Grundmenge ist der so genannten Schwartz-Raum. Dieser wird von der Fourier-Transformation $\mathcal{F}$ auf sich selbst abgebildet, sodass auch die Rücktransformation ohne Zusatzforderungen stets machbar ist.

Beispiel (Rechteckfunktion)

Die Fourier-Transformierte der Rechtfunktion

r(x):=\begin{cases} 1,&\text{für }|x|<\frac{1}{2},\\ \frac{1}{2},&\text{für }|x|0\frac{1}{2},\\ 0,&\text{für }|x|>\frac{1}{2} \end{cases}

(5)

ist gerade

\hat{r}(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\,\pi}}\,s\left(\frac{1}{2\,\pi}\,\omega\right),

(6)

wobei

s(x):=\frac{\sin(\pi\,x)}{\pi\,x}

(7)

die Sinc-Funktion bezeichnet.

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

x = np.linspace(-1, 1, 100)
r = np.zeros_like(x)
r[np.abs(x) < 0.5] = 1

omega = np.linspace(-50, 50, 200)
s = 1 / np.sqrt(2 * np.pi) * np.sin(0.5 * omega) / (0.5 * omega)

fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(12, 3))
ax1.plot(x, r)
ax2.plot(omega, s)
ax1.set_title('Rechteckfunktion')
ax2.set_title('Fourier-Transformierte (reell)')
plt.show()

5.2.2Anwendungen¶

Für in der Praxis oft auftretende Funktionen sind die Fourier-Transformierten in Tabellen erfasst. Neben dem manuellen Berechnen ist auch die numerische Berechnung mit dem Computer prinzipiell machbar. Allerdings birgt diese einige Schwierigkeiten, sodass wir hier nicht näher darauf eingehen. Auch ist die kontinuierliche Fourier-Transformation aus diesem Grund im Gegensatz zur später zu behandelnden diskreten Fourier-Transformation kaum in Standard-Software integriert.

Anwendungen der kontinuierlichen Fourier-Transformation liegen vor allem im theoretischen Bereich. Beispiele:

Untersuchung des Verhaltens von elektrischen Bauteilen (z.B. Tiefpassfilter),
Lösen von Differentialgleichungen (siehe später),
Erklärung/Untersuchung akustischer Phänomene (z.B. Obertöne bei Musikinstrumenten).

Ein praktische Anwendung der kontinuierlichen Fourier-Transformation findet man bei der Computer-Tomografie. Die dabei auftretende mehrdimensionale Fourier-Transformation wird weiter unten eingeführt.

5.2.3Eigenschaften¶

Fourier-Transformierte werden nur selten über die Definition als Integral berechnet. Üblicherweise entnimmt man die Fourier-Transformierten einiger Grundfunktionen aus Tabellen und verwendet dann diverse Eigenschaften der Fourier-Transformation, um daraus die gesuchte Fourier-Transformierte zu ermitteln. Einige dieser Eigenschaften sind:

Für $a,b\in\bbC$ und Funktionen $f_1,f_2$ gilt
$\widehat{a\,f_1+b\,f_2}(\omega)=a\,\hat{f}_1(\omega)+b\,\hat{f}_2(\omega)$
(8)
(Linearität).
Für $a\in\bbR$ gilt
$f(x)=g(x-a)\quad\Leftrightarrow\quad\hat{f}(\omega)=\rme^{-\rmi\,a\,\omega}\,\hat{g}(\omega)$
(9)
(Zeitverschiebung).
Für $a\in\bbR$ gilt
$f(x)=\rme^{\rmi\,a\,\omega}\,g(x)\quad\Leftrightarrow\quad\hat{f}(\omega)=\hat{g}(\omega-a)$
(10)
(Frequenzverschiebung).
Für $a\in\bbR$ gilt
$f(x)=g(a\,x)\quad\Leftrightarrow\quad\hat{f}(\omega)=\frac{1}{|a|}\,\hat{g}\left(\frac{\omega}{a}\right).$
(11)
Ableitungen werden in Produkte überführt, d.h.
$f(x)=g^{(k)}(x)\quad\Leftrightarrow\quad\hat{f}(\omega)=(\rmi\,\omega)^k\,\hat{g}(\omega).$
(12)
Die Gauß’sche Glockenkurve bleibt unverändert, d.h.
$f(x)=\rme^{-\frac{1}{2}\,x^2}\quad\Leftrightarrow\quad\hat{f}(\omega)=\rme^{-\frac{1}{2}\,\omega^2}.$
(13)

Ein wichtige Rolle spielt auch der sogenannte Faltungssatz, der die Multiplikation zweier Funktionen im Frequenzbereich in der Zeit- bzw. Ortsbereich überträgt.

5.2.4Reellwertige Formulierung¶

Für reellwertige Funktionen $f:\bbR\to\bbR$ kann man alternativ zur Fourier-Transformation auch Cosinus- und Sinus-Transformationen separat betrachten:

(\cC\,f)(\omega):=\frac{1}{\sqrt{2\,\pi}}\,\int_{-\infty}^\infty f(x)\,\cos(\omega\,x)\diff x,

(16)

(\cS\,f)(\omega):=\frac{1}{\sqrt{2\,\pi}}\,\int_{-\infty}^\infty f(x)\,\sin(\omega\,x)\diff x.

(17)

Die Cosinus-Transformierte ist stets eine gerade Funktion und die Sinus-Transformierte ist stets ungerade:

(\cC\,f)(-\omega)=(\cC\,f)(\omega),\qquad(\cS\,f)(-\omega)=-(\cS\,f)(\omega).

(18)

Offensichtlich gilt

\cF\,f=\cC\,f-\rmi\,\cS\,f

(19)

und auch

\cF^{-1}\,\hat{f}=\cC\,\hat{f}+\rmi\,\cS\,\hat{f}.

(20)

Sind $f_{\mathrm{c}}$ und $f_{\mathrm{s}}$ die Cosinus- und Sinus-Transformierten einer Funktion $f$ , so kann man daraus durch nochmalige Transformation wieder $f$ erhalten:

f=\cC\,f_{\mathrm{c}}+\cS\,f_{\mathrm{s}}

(21)

(IDV 515).

5.2.5Mehrdimensionale Fourier-Transformation¶

Die Fourier-Transformation kann auch für Funktionen $f:\bbR^n\to\bbC$ sinnvoll eingeführt werden:

\hat{f}(\omega):=\frac{1}{\bigl(\sqrt{2\,\pi}\bigr)^n}\,\int_{\bbR^n}f(x)\,\rme^{-\rmi\,\omega^\rmT\,x}\,\mathrm{db}

(22)

Das Integral ist hier ein Bereichsintegral über den gesamten $\bbR^n$ . Im Exponent steht das Skalarprodukt der beiden Vektoren $x=(x_1,\ldots,x_n)$ und $\omega=(\omega_1,\ldots,\omega_n)$ .

Die inverse Fourier-Transformation sieht entsprechend aus:

f(x)=\frac{1}{\bigl(\sqrt{2\,\pi}\bigr)^n}\,\int_{\bbR^n}f(x)\,\rme^{\rmi\,\omega^\rmT\,x}\,\mathrm{db}.

(23)

Beispiel ((Interpretation der mehrdimensionalen Transformation))

Die Funktionen $x\mapsto\rme^{-\rmi\,\omega^\rmT\,x}$ (mit festem $\omega$ ) können für $n>1$ nicht direkt im dreidimensionalen Raum visualisiert werden. Selbst für $n=2$ ist Graph der Funktion bereits vierdimensional. Betrachten deshalb Ersatzweise für $n=2$ nur die ensprechende Cosinus-Funktion

(x_1,x_2)\mapsto\cos(\omega_1\,x_1+\omega_2\,x_2).

(24)

import numpy as np
import plotly.graph_objects as go

omega = np.array([2, 4])
x1, x2 = np.meshgrid(np.linspace(-2, 2, 50), np.linspace(-2, 2, 50))
f = np.cos(omega[0] * x1 + omega[1] * x2)

fig = go.Figure()
fig.layout.margin = dict(l=0, r=0, b=0, t=0)  # breiten Rand vermeiden
fig.add_trace(
    go.Surface(x=x1, y=x2, z=f, colorscale='Jet')
)
fig.update_layout(
    scene_xaxis_title_text='x<sub>1</sub>',
    scene_yaxis_title_text='x<sub>2</sub>',
    scene_zaxis_title_text=''
)
fig.show()

Der Vektor $\omega$ gibt Richtung und Frequenz der Schwingung vor. Entlang der Richtung $\omega$ entspricht der Graph gerade dem Graph der Cosinus-Funktion, die entsprechend der Länge von $\omega$ gestaucht bzw. gestreckt ist. Senkrecht zu $\omega$ ist die Funktion konstant.