Periodische Funktionen - Ingenieurmathematik (i939)

Die Fourier-Transformation für periodische Funktionen überführt eine $\bbR$ definierte periodische Funktion in eine doppelt unendliche Zahlenfolge $(c_k)_{k\in\bbZ}$ . Im Gegensatz zur Fourier-Transformation bei aperiodischen Funktionen ist die Darstellung periodischer Funktionen im Frequenzbereich also nicht kontinuierlich, sondern es genügen (unendlich viele) diskrete Frequenzen zur vollständigen Beschreibung einer Funktion.

Funktionen die nur auf einem endlichen Intervall $[a,b]$ definiert sind, können stets zu periodischen Funktionen auf ganz $\bbR$ fortgesetzt werden. Somit kann die Fourier-Transformation auch für auf einem Intervall definierte Funktionen genutzt werden.

5.3.1Definition¶

Aus der Fourier-Transformierten kann man die ursprüngliche Funktion als unendliche Summe von Funktionen zurückgewinnnen. Dabei ist zu klären, unter welchen Bedingungen und in welchem Sinn diese Summe gegen die Funktion konvergiert.

Merke!

Sei $(c_k)_{k\in\bbZ}$ die Fourier-Transformierte einer periodischen Funktion $f$ . Die Funktionenreihe

x\mapsto\sum_{k=-\infty}^\infty c_k\,\rme^{\rmi\,\frac{2\,\pi\,k}{T}\,x}

(3)

wird Fourier-Reihe zu $f$ genannt. Sie konvergiert

gleichmäßig gegen $f$ , dh.
$\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in[-\frac{T}{2},\frac{T}{2}]}\left|\sum_{k=-n}^n c_k\,\rme^{\rmi\,\frac{2\,\pi\,k}{T}\,x}-f(x)\right|=0,$
(4)
wenn $f$ stetig differenzierbar ist,
gleichmäßig gegen $f$ , wenn $f$ stetig ist und
$\sum_{k=-\infty}^\infty|c_k|<\infty$
(5)
gilt,
punktweise gegen $f$ , wenn $f$ bis auf endlich viele Sprungstellen (pro Periode) stetig ist, wobei allerdings an Sprungstellen $x_0$ nur
$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=-n}^n c_k\,\rme^{\rmi\,\frac{2\,\pi\,k}{T}\,x}=\frac{f(x_0-0)+f(x_0+0)}{2}$
(6)
gilt.

Die Folge der $c_k$ wird auch als Frequenzspektrum von $f$ bezeichnet, während man bei der Folge der Beträge $|c_k|$ vom Amplitudenspektrum spricht.

5.3.2Anwendungen¶

Die Fourier-Transformation für periodische Funktionen hat innermathematisch wichtige Anwendungen, außerhalb aber kaum. Sie ist jedoch Grundlage und Ausgangspunkt für die in nahezu allen Teilgebieten von Naturwissenschaft und Technik anzutreffende diskrete Fourier-Transformation (siehe nächstes Kapitel).

5.3.3Reellwertige Formulierung¶

Für reellwertige periodische Funktionen $f:\bbR\to\bbR$ kann man analog zum aperiodischen Fall wieder separat Cosinus- und Sinus-Anteile der Funktion bestimmen. Auf diesem Weg vermeidet man das Arbeiten mit komplexen Zahlen.

Mit den durch

a_k:=\frac{1}{T}\,\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x)\,\cos\bigl(\tfrac{2\,\pi\,k}{T}\,x\bigr)\diff x,

(7)

b_k:=\frac{1}{T}\,\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x)\,\sin\bigl(\tfrac{2\,\pi\,k}{T}\,x\bigr)\diff x

(8)

definierten Folgen $(a_k)_{k\geq 0}$ und $(b_k)_{k\geq 1}$ gilt

f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^\infty\left(a_k\,\cos\bigl(\tfrac{2\,\pi\,k}{T}\,x\bigr)+b_k\,\sin\bigl(\tfrac{2\,\pi\,k}{T}\,x\bigr)\right)

(9)

im Sinne obiger Konvergenzaussagen.

Der Zusammenhang zur komplexwertigen Fourier-Transformation ist durch

a_k=c_k+c_{-k}\quad (k\geq 0),\qquad b_k=\rmi\,(c_k-c_{-k})\quad(k\geq 1)

(10)

bzw.

c_k=\frac{a_k-\rmi\,b_k}{2}\quad(k\geq 1),\qquad c_0=\frac{a_0}{2},\qquad c_k=\frac{a_{-k}+\rmi\,b_{-k}}{2}\quad(k\leq -1)

(11)

gegeben.

5.3 Periodische Funktionen

5.3.1Definition¶

5.3.2Anwendungen¶

5.3.3Reellwertige Formulierung¶