8.6 Grenzwertsätze

Bisher habe wir viel im “Klein-Klein” gearbeitet, also im Wesentlichen Begriffe definiert und einfache Zusammenhänge zwischen diesen Begriffe betrachtet. Der Wert einer Theorie zeigt sich jedoch erst in den großen Zusammenhängen: Kann die entwickelte Theorie Vorhersagen und Erkenntnisse liefern, die ohne diese Theorie verborgen geblieben wären?

Für die Wahrscheinlichkeitstheorie ist die Antwort ganz klar “Ja”. Einige zentrale Resultate zeigen wir hier zur Demonstration der inhaltlichen und sprachlichen Möglichkeiten, jedoch ohne jeglichen Nachweis.

8.6.1Schwache Konvergenz der relativen Häufigkeit¶

Wir hatten die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses als relative Häufigkeit seines Eintretens bei sehr vielen Versuchen beschrieben (frequentistische Interpretation der Wahrscheinlichkeitsrechnung). Diesen Gedanke können wir wie folgt präzsieren:

Beachte, dass eine Aussage der Form $\lim_{n\to\infty}X_n=p$ angenehmer aussieht, aber inhaltlich nicht sinnvoll ist, da $X_n$ eine Funktion ist. Bei der obigen Konvergenzaussage spricht man auch von Konvergenz in Wahrscheinlichkeit. Dies ist eine Konvergenzform für Zufallsgrößen. Die Wahrscheinlichkeit für eine noch so kleine Mindestabweichung vom Grenzwert wird beliebig klein, wenn man $n$ nur groß genug wählt.

Die frequentistische Sicht auf Wahrscheinlichkeiten wird durch die in dieser Veranstaltung gewählte (und auch in der modernen Literatur übliche) Modellierung von zufälligen Vorgängen also gut umgesetzt.

8.6.2Schwaches Gesetz der großen Zahlen¶

Neben dem Erwartungswert einer Zufallsgröße hatten wir bereits den empirischen Mittelwert einer Anzahl von Realisierungen dieser Zufallsgröße betrachtet. Die folgende Aussage liefert den engen Zusammenhang beider Größen:

Die Aussage, dass der der emprische Mittelwert für große Versuchsanzahl mit dem Erwartungswert übereinstimmt, ist intuitiv klar. Dass wir diesen Zusammenhang auch aus der entwickelten Wahrscheinlichkeitstheorie ableiten können, spricht für die Korrektheit bzw. Nützlichkeit der Theorie.

8.6.3Zentraler Grenzverteilungssatz¶

Den zentralen Grenzverteilungssatz gibt es in unzähligen Varianten. Kernaussage ist, dass die Überlagerung vieler sich ähnlich verhaltender Zufallsgrößen zu einer normalverteilten Zufallsgröße führt. Praktisch bedeutet dies, dass die Zusammenspiel vieler kleiner Fehlerquellen stets zu einem normalverteilten Gesamtfehler führt. Hier ein einfache Formulierung mit recht strengen Voraussetzungen:

Dass $\sqrt{n}\,\sigma$ die Standardabweichung der Zufallsgröße $X_1+\cdots+X_n$ ist, folgt aus der Unabhängigkeit der Zufallsgrößen. Wir gehen an dieser Stelle nicht näher darauf ein, kommen aber im nächsten Unterkapitel darauf zurück.

Der zentrale Grenzverteilungssatz ist ein Beispiel für eine praktisch relevante Erkenntnis, die ohne die mühsam entwickelte Wahrscheinlichkeitstheorie im Verborgenen geblieben wäre. Bestenfalls könnte man den Zusammenhang von Messfehlern mit der Normalverteilung durch umfangreiche statistische Auswertungen erahnen (jedoch nicht begründen!).