4.7 Ölteppich

4.7.1Problemstellung¶

Wollen die Ausbreitung eines Ölteppichs auf einer Wasseroberfläche unter Strömungseinfluss simulieren.

Sei $\underline{v}(x_1,x_2,t)\in\bbR^2$ der Strömungsvektor (Richtung und Geschwindigkeit) einer Wasserobfläche ($\bbR^2$) am Punkt $(x_1,x_2)$ zur Zeit $t$. Die Öldichte (Masse pro Fläche) sei durch $\varrho(x_1,x_2,t)$ beschrieben. Ist

gegeben, so interessiert uns die Veränderung der Öldichte im Laufe der Zeit.

Offensichtliche Lösungen:

• Falls $\underline{v}\equiv 0$ (keine Strömung), so muss zu jeder Zeit $\varrho\equiv\varrho_0$ gelten.

• Ist $\underline{v}$ unabhängig von Ort und Zeit immer gleich (gleichmäßige Strömung in eine feste Richtung), so entsteht $\varrho$ zur Zeit $t$ durch Verschieben von $\varrho_0$. Dabei ist die Länge der Verschiebungsstrecke proportional zu $t$.

4.7.2Modell¶

Die Lösung für allgemeines $\underline{v}$ muss die partielle Differentialgleichung

für $(x_1,x_2)\in\bbR^2$ und $t\in[0,\infty)$ erfüllen. Diese erhält man durch Vergleich der Ölmasse in einem beliebigen Gebiet mit dem Ölzufluss und -abfluss über den Rand des Gebiets und Grenzübergang zu beliebig kleinen Gebieten (IDV 450).