8.4 Bereichsschätzung15. Juli 2026
8.4.1 Idee ¶ Eine Alternative zu Punktschätzungen sind Bereichsschätzungen. Hier wird aus einer konkreten Stichprobe nicht ein Schätzwert generiert, der (hoffentlich) in der Nähe des gesuchten Verteilungsparameters ϑ \vartheta ϑ
8.4.2 Konfidenzintervall ¶ Sei ( X 1 , … , X n ) (X_1,\ldots,X_n) ( X 1 , … , X n ) ϑ \vartheta ϑ α > 0 \alpha>0 α > 0 I ( X 1 , … , X n ) I(X_1,\ldots,X_n) I ( X 1 , … , X n )
P ( ϑ ∈ I ( X 1 , … , X n ) ) ≥ 1 − α P\bigl(\vartheta\in I(X_1,\ldots,X_n)\bigr)\geq 1-\alpha P ( ϑ ∈ I ( X 1 , … , X n ) ) ≥ 1 − α erfüllt, heißt Konfidenzintervall (oder Vertrauensintervall) zu ϑ \vartheta ϑ Konfidenzniveau (oder Vertrauensniveau) 1 − α 1-\alpha 1 − α α \alpha α Irrtumswahrscheinlichkeit bezeichnet.
Konfidenzintervalle können einseitig oder zweiseitig sein. Einseitige Konfidenzintervalle haben die Form ( − ∞ , b ( X 1 , … , X n ) ] (-\infty,b(X_1,\ldots,X_n)] ( − ∞ , b ( X 1 , … , X n )] [ a ( X 1 , … , X n ) , ∞ ) [a(X_1,\ldots,X_n),\infty) [ a ( X 1 , … , X n ) , ∞ ) a , b : R n → R a,b:\bbR^n\to\bbR a , b : R n → R Zweiseitige Konfidenzintervalle haben die Form [ b ( X 1 , … , X n ) , b ( X 1 , … , X n ) ] [b(X_1,\ldots,X_n),b(X_1,\ldots,X_n)] [ b ( X 1 , … , X n ) , b ( X 1 , … , X n )]
Typische Werte für α \alpha α α \alpha α α = 0 \alpha=0 α = 0 ( − ∞ , ∞ ) (-\infty,\infty) ( − ∞ , ∞ ) ϑ \vartheta ϑ
Die mittlere Füllmenge von Flaschen aus einer Abfüllanlage soll bestimmt werden. Dabei sind Abweichungen nach oben nicht relevant; lediglich dauerhaft zu geringe Füllmengen müssen erkannt und vermieden werden. Anhand einer konkreten Stichprobe wird also ein Intervall [ a , ∞ ) [a,\infty) [ a , ∞ ) a a a
Ein zu einer konkreten Stichprobe berechnetes Konfidenzintervall lässt keine Aussage darüber zu, ob der gesuchte Parameter tatsächlich in diesem Intervall liegt. Wir wissen lediglich, dass beim Ziehen vieler Stichproben die meisten Intervalle den Parameter enthalten werden. Verwenden wir beispielsweise die Irrtumswahrscheinlichkeit α = 0.01 \alpha=0.01 α = 0.01
8.4.3 Konstruktion von Konfidenzintervallen ¶ 8.4.3.1 Ansatz für zweiseitige Konfidenzintervalle ¶ Zu gegebener Irrtumswahrscheinlichkeit α \alpha α T n T_n T n ϑ \vartheta ϑ
P ( q α 2 ≤ T n ≤ q 1 − α 2 ) = 1 − α , P(q_\frac{\alpha}{2}\leq T_n\leq q_{1-\frac{\alpha}{2}})=1-\alpha, P ( q 2 α ≤ T n ≤ q 1 − 2 α ) = 1 − α , wobei q t q_t q t T n T_n T n t t t ϑ \vartheta ϑ P ( … ) P(\ldots) P ( … ) ϑ \vartheta ϑ
Sei die Grundgesamtheit normalverteilt mit bekannter Varianz σ 2 \sigma^2 σ 2 X 1 , … , X n X_1,\ldots,X_n X 1 , … , X n μ \mu μ α \alpha α
T n : = 1 n ∑ k = 1 n X k . T_n:=\frac{1}{n}\,\sum_{k=1}^n X_k. T n := n 1 k = 1 ∑ n X k . Diese folgt einer Normalverteilung mit Erwartungswert μ \mu μ σ 2 n \frac{\sigma^2}{n} n σ 2 μ \mu μ
[ T n − σ n z 1 − α 2 , T n + σ n z 1 − α 2 ] \left[T_n-\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\,z_{1-\frac{\alpha}{2}},\;T_n+\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\,z_{1-\frac{\alpha}{2}}\right] [ T n − n σ z 1 − 2 α , T n + n σ z 1 − 2 α ] für μ \mu μ z t z_t z t IDV 840).
Die benötigten Quantile (insbesondere der Standardnormalverteilung) lassen sich oft nicht durch explizite Formeln berechnen. Früher wurden diese Tabellen entnommen; heute werden sie mit dem Computer numerisch berechnet.
8.4.3.2 Ansatz für einseitige Konfidenzintervalle ¶ Analog zum zweiseitigen Fall erhält man aus den Ansätzen
P ( q α ≤ T n ) = 1 − α P(q_\alpha\leq T_n)=1-\alpha P ( q α ≤ T n ) = 1 − α bzw.
P ( T n ≤ q 1 − α ) = 1 − α P(T_n\leq q_{1-\alpha})=1-\alpha P ( T n ≤ q 1 − α ) = 1 − α einseitige Konfidenzintervalle.
8.4.3.3 Häufig benötigte Konfidenzintervalle ¶ Üblicherweise benötigte Konfidenzintervalle findet man in Formelsammlungen.
Je nach zu schätzendem Parameter folgt die passende Testfunktion unterschiedlichen Verteilungen. Die Quantile dieser oder daraus abgeleiteter Verteilungen tauchen dann in den Formeln für das Konfidenzintervall auf. Insbesondere spielen für Konfidenzintervalle bei normalverteilter Grundgesamtheit die Studentsche t-Verteilung und die Chi-Quadrat-Verteilung eine Rolle.
Beim maschinellen Zuschnitt von Dachlatten auf eine Solllänge von 4 Meter treten zwangsläufig Ungenauigkeiten auf. Diese sind praktisch wenig relevant, jedoch soll sichergestellt werden, dass die Länge im Mittel bei 4 Meter liegt, also nicht systematisch zu kurz (min. 3.98 Meter) oder zu lang (max. 4.05 Meter) geschnitten wird.
Es wird eine Stichprobe von 30 Latten nachgemessen. Der Mittelwert dieser Messungen ist 4.01 Meter. Die empirische Standardabweichung liegt bei 0.04 Meter. Liegt der Sollwert (einschließlich der zulässigen Toleranz nach unter und oben) im sich aus dieser Stichprobe ergebenden Konfidenzintervall zur Irrtumswahrscheinlichkeit α = 0.01 \alpha=0.01 α = 0.01
Das passende Konfidenzintervall (Erwartungswert der Normalverteilung bei unbekannter Varianz) ist
[ x ‾ − t 1 − α 2 ; n − 1 s n , x ‾ + t 1 − α 2 ; n − 1 s n ] , \left[\overline{x}-t_{1-\frac{\alpha}{2};n-1}\,\frac{s}{\sqrt{n}},\;\overline{x}+t_{1-\frac{\alpha}{2};n-1}\,\frac{s}{\sqrt{n}}\right], [ x − t 1 − 2 α ; n − 1 n s , x + t 1 − 2 α ; n − 1 n s ] , wobei t 1 − α 2 ; n − 1 t_{1-\frac{\alpha}{2};n-1} t 1 − 2 α ; n − 1 1 − α 2 1-\frac{\alpha}{2} 1 − 2 α
x ‾ : = 1 n ∑ k = 1 n x k \overline{x}:=\frac{1}{n}\,\sum_{k=1}^n x_k x := n 1 k = 1 ∑ n x k und
s 2 : = 1 n − 1 ∑ k = 1 n ( x k − x ‾ ) 2 s^2:=\frac{1}{n-1}\,\sum_{k=1}^n(x_k-\overline{x})^2 s 2 := n − 1 1 k = 1 ∑ n ( x k − x ) 2 Stichprobenmittelwert und Stichprobenvarianz sind. Einsetzen der gegebenen Werte:
import scipy.special
n = 30
mean = 4.01
std = 0.04
alpha = 0.01
t = scipy.special.stdtrit(n, 1 - 0.5 * alpha)
low = mean - t * std / n ** 0.5
high = mean + t * std / n ** 0.5
print(f'[ {low:.4f}, {high:.4f} ]')Der Zuschnittprozess kann also als in Ordnung angesehen werden, da das Konfidenzintervall, in dem der Sollwert der Lattenlänge mit hoher Wahrscheinlichkeit liegt, vollständig im tolerierbaren Bereich für den Sollwert enthalten ist.
Ist nur eine Mindestlänge, z.B. 3.98 Meter, einzuhalten, so sollte ein einseitiges Konfidenzintervall [ a , ∞ ) [a,\infty) [ a , ∞ ) a ≥ 3.98 a\geq 3.98 a ≥ 3.98