Wiederholung Wahrscheinlichkeitsrechnung - Ingenieurmathematik (i939)

Die Welt des Zufalls in mathematisch exakte Sprache zu fassen ist schwieriger als man denkt. Entsprechend lang hat dies gedauert. Eine allgemein anerkannte, hinreichend umfangreiche Theorie für Beschreibung und Untersuchung zufälliger Vorgänge stand erst in den 1930er-Jahren zur Verfügung (zum Vergleich: Geometrie und Differentialrechung in ihrer heutigen Form sind mindestens 100 Jahre älter).

Wie umgehen mit scheinbar widersprüchlichen oder mindestens der Intuition widersprechenden Feststellungen wie den folgenden?

Würfelt man mehrfach nacheinander, so sind die Würfe völlig unabhängig voneinander. Aus den bereits gewürfelten Zahlen kann man nicht auf die nächste Zahl schließen.
Bei einer großen Anzahl von Würfen erscheint jede Zahl etwa gleich oft.
Hat man die Folge 33333333333333333333 gewürfelt, so kann man nicht (!) schließen, dass nun andere Zahlen öfter als die 3 erscheinen müssten, da ja alle Zahlen etwa gleich oft vorkommen.
Bei 20 Würfen taucht die Folge 33333333333333333333 im Mittel über viele Versuche gleich oft auf wie die Folge 36215326326132562425.

8.2.1Wahrscheinlichkeitsräume¶

Die mathematische Struktur des Wahrscheinlichkeitsraums dient als Modell für zufällige Vorgänge. Sind die Bestandteile des Wahrscheinlichkeitsraums festgelegt, so können alle relevanten Aspekte des zufälligen Vorgangs an diesem untersucht werden.

Beispiel

Für die Flughöhe einer Silvesterrakete ist $\Omega=[0,\infty)$ eine geeignete Wahl, wobei man aus technischen Gründen (Integrationstheorie!) als $\sigma$ -Algebra nicht die Potenzmenge wählt, sondern die Borel’sche $\sigma$ -Algebra oder die darauf aufbauende Lebesgue- $\sigma$ _Algebra.

Eine explizite Angabe des Wahrscheinlichkeitsmaßes $P$ ist hier schwierig. Insbesondere kann man dieses nicht punktweise auf den Elementarereignissen angeben, da $P(\{x\})$ für jedes $x\in[0,\infty)$ Null sein wird. Jedoch ist $P$ durch die Werte $P([0,x])$ für all $x\in[0,\infty)$ eindeutig bestimmt, da aufgrund der speziellen Struktur von $\cA$ daraus die Werte $P(A)$ für alle $A\in\cA$ ermittelt werden können.

Auch wenn man sich seit etwa 100 Jahren auf ein einheitliches mathematisches Modell für zufällige Vorgänge geeinigt hat, die Axiome von Kolmogorow, gibt es nach wie vor zwei unterschiedliche Schulen/Denkweisen/Interpretationen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung:

Bei der frequentistischen Denkweise wird die Wahrscheinlichkeit $P(A)$ eines Ereignisses $A$ als Grenzwert der relativen Häufigkeit des Eintretens dieses Ereignisses bei wachsender Versuchsanzahl angesehen. Problematisch ist hier der Umgang mit Versuchen, die keine beliebig häufige Wiederholung zulassen.
Bei der bayesianischen Denkweise wird die Wahrscheinlichkeit $P(A)$ eines Ereignisses $A$ als Größe zur Quantifizierung der Unsicherheit bzw. Unkenntnis über das Eintreten des Ereignisses angesehen. Diese Sichtweise umgeht das Wiederholungsproblem der Frequentisten, führt aber zu einer gewissen Subjektivität bei der Größe von Wahrscheinlichkeiten. Auch ist hier nicht sofort klar, warum Wahrscheinlichkeiten immer im Intervall $[0,1]$ liegen sollten.

8.2.2Zufallsgrößen¶

Die praktische Handhabung von Ereignissen als Elemente der $\sigma$ -Algebra eines Wahrscheinlichkeitsraums $(\Omega,\cA,P)$ ist eher mühsam. Angenehmer ist die Arbeit mit Funktionen, die zufällige Werte annehmen. Jede Wiederholung eines zufälligen Vorgangs kann dann einen anderen Funktionswert liefern. Dies erreicht man durch das Einführen von Zufallsgrößen.

Wichtig: Zufallsgrößen bieten keine zusätzlichen Erkenntnisse oder Möglichkeiten, sondern dienen nur der Bequemlichkeit bei der Arbeit mit Wahrscheinlichkeitsräumen. Dies geht soweit, dass man die Grundmenge $\Omega$ und die $\sigma$ -Algebra $\cA$ gar nicht mehr konkret angibt, sondern lediglich den Wertebereich der betrachteten Zufallsgröße und die Wahrscheinlichkeiten $P(X=x_k)$ (diskrete Zufallsgrößen) bzw. $P(X\leq x)$ (kontinuierliche Zufallsgrößen). Dabei sind $P(X=x_k)$ und $P(X\leq x)$ Kurzschreibweisen für

P(\{\omega\in\Omega:\;X(\omega)=x_k\})\qquad\text{und}\qquad P(\{\omega\in\Omega:\;X(\omega)\leq x\}).

(2)

Die mittels einer Zufallsgröße erzeugten Werte heißen Realisierungen der Zufallsgröße.

Im Würfel-Beispiel gibt die Zufallsgröße die Struktur des Wahrscheinlichkeitsraums vollständig wieder. Im Raketen-Beispiel wird die Struktur der möglichen Ausgänge des zufälligen Vorgangs deutlich vereinfacht. Ein Verfeinern der Beschreibung eines zufälligen Vorgangs mittels Zufallsgrößen ist nicht möglich. Dies würde der von Zufallsgrößen geforderten Messbarkeit widersprechen.

8.2.3Verteilungen¶

Bei der Arbeit mit Zufallsgrößen treten die Grundmenge $\Omega$ und die $\sigma$ -Algebra in den Hintergrund. Nur das Wahrscheinlichkeitsmaß $P$ des zugrundeliegenden Wahrscheinlichkeitsraums wird noch direkt genutzt. Allerdings ist auch die Handhabung von $P$ als auf der $\sigma$ -Algebra $\cA$ definierte Abbildung zuweilen recht sperrig. Daher wird $P$ in Bezug auf eine Zufallsgröße gern anders beschrieben, nämlich als Verteilungsfunktion.

8.2.3.1Diskrete Zufallsgrößen¶

Ist $X$ eine diskrete Zufallsgröße mit endlich vielen Werten $x_1,\ldots,x_n$ , so heißt die durch

p(x_k):=P(X=x_k),\qquad k=1,\ldots,n,

(5)

gegebene Funktion $p:\{x_1,\ldots,x_n\}\to\bbR$ Wahrscheinlichkeitsfunktion der diskreten Zufallsgröße. Bei abzählbar unendlichen vielen Werten $x_1,x_2,\ldots$ entsteht völlig analog eine Wahrscheinlichkeitsfunktion $p:\{x_1,x_2,\ldots\}\to\bbR$ .

Die Funktion

F:\bbR\to[0,1],\qquad F(x):=P(X\leq x)

(6)

heißt Verteilungsfunktion. Es gilt

F(x)=\sum_{k:\;x_k\leq x}x_k.

(7)

Oft auftretende Verteilungen diskreter Zufallsgrößen sind

8.2.3.2Kontinuierliche Zufallsgrößen¶

Ist $X$ eine kontinuierliche Zufallsgröße, so wird praktisch immer $P(X=x)=0$ gelten. Das Einführen einer Verteilung $p$ wie bei den diskreten Zufallsgrößen ist also nicht sinnvoll. Mit einem leicht geänderten Vorgehen erhalten wir jedoch ein analoges Ergebnis: Jede Funktion $p:\bbR\to[0,\infty)$ , die

P(X\leq x)=\int_-\infty^x p(x)\diff x

(8)

erfüllt, heißt Dichtefunktion der kontinuierlichen Zufallsgröße.

Bezeichnen mit

F:\bbR\to[0,1],\qquad F(x):=P(X\leq x)

(9)

auch im kontinuierlichen Fall die Verteilungsfunktion. Dann gilt

F(x)=\int_{-\infty}^x p(x)\diff x.

(10)

Oft auftretende Verteilungen kontinuierlicher Zufallsgrößen sind

8.2.4Kenngrößen von Verteilungen¶

Grundlegende Eigenschaften der Verteilungen von Zufallsgrößen können durch verschiedenen Kenngrößen ausgedrückt werden.

8.2.4.1Erwartungswert¶

Der Erwartungswert einer diskreten Zufallsgröße $X$ mit Wahrscheinlichkeitsfunktion $p$ ist

\bbE X:=\sum_k p(x_k)\,x_k.

(12)

Der Erwartungswert einer kontinuierlichen Zufallsgröße mit Dichtefunktion $p$ ist

\bbE X:=\sum_{-\infty}^\infty x\,p(x)\diff x.

(13)

Auf die Frage, unter welchen Bedingungen der Erwartungswert als endliche Zahl existiert, gehen wir hier nicht ein. Für übliche Verteilungen existiert der Erwartungswert stets und ist endlich.

8.2.4.2Varianz¶

Die Varianz einer Zufallsgröße ist mittlere quadratische Abweichung vom Erwartungswert:

\bbD^2 X:=\bbE\bigl((X-\bbE X)^2\bigr).

(14)

Die Wurzel aus der Varianz wird als Standardabweichung bezeichnet.

8.2.4.3Quantile¶

Sei $X$ eine Zufallsgröße und sei $t>0$ . Die kleinste Zahl $q_t\in\bbR$ , die

P(X\leq q_t)\geq t

(15)

erfüllt, heißt Quantil zum Niveau $t$ . Ist $F$ die Verteilungsfunktion zu $X$ , so gilt also

F(q_t)\geq t.

(16)

Bei stetiger streng monoton wachsender Verteilungsfunktion gilt also

F(q_t)=t,

(17)

d.h. die Abbildung $t\mapsto q_t$ ist die Umkehrung der Verteilungsfunktion.