Hypothesentests - Ingenieurmathematik (i939)

Punkt- und Bereichsschätzungen liefern zwar gewisse Informationen über einen Verteilungsparameter $\theta$ der Grundgesamtheit; allerdings ist damit nicht geklärt, wie daraus Entscheidungen, z.B. über das korrekte Arbeiten einer Maschine, abgeleitet werden sollten. Insbesondere bereiten Konfidenzintervalle Ṕrobleme, die weder komplett innerhalb noch komplett außerhalb des gewünschten Bereichs für $\vartheta$ liegen. Hypothesentests erweitern die Schätzwerkzeuge um einen systematischen Entscheidungsprozess.

In der Praxis spielen Hypothesentests eine wichtige Rolle, da sie ein Mittel zum Standardisieren von Entscheidungsprozessen sind und Transparenz beim Aufstellen von Entscheidungsregeln schaffen.

Hypothesentests liefern letztlich den gleichen Informationsgewinn über den unbekannten Parameter $\vartheta$ wie Bereichsschätzungen, nehmen aber einen anderen Blickwinkel ein.

8.5.1Ziel und Beispiel¶

Anhand einer Stichprobe $X_1,\ldots,X_n$ zu einer Grundgesamtheit soll eine Behauptung (Hypothese) über die Verteilung der Grundgesamtheit überprüft werden. Spricht eine konkrete Stichprobe für die zu prüfende Hypothese oder dagegen?

Beschränken uns hier auf Parametertests, also auf des Prüfen von Hypothesen über einen in der Verteilung der Grundgesamtheit vorkommenden, unbekannten Parameter $\vartheta$ . Nichtparametrische Tests werden hier nicht behandelt.

8.5.2Nullhypothese und Gegenhypothese¶

Die zu testende Hypothese wird als Nullhypothese (kurz: $H_0$ ) bezeichnet. Das Gegenteil der Nullhypothese wird als Gegenhypothese bezeichnet (kurz: $H_1$ ). Typische Nullhypothesen zum Verteilungsparameter $\vartheta$ sind:

$\vartheta\geq\vartheta_0$ (einseitige Hypothese),
$\vartheta\leq\vartheta_0$ (einseitige Hypothese),
$\vartheta=\vartheta_0$ (zweiseitige Hypothese).

Dabei ist $\vartheta_0$ eine gegebene Zahl.

Die Wahl, welche Behauptung als Nullhypothese verwendet wird (z.B. $\vartheta=\vartheta_0$ vs. $\vartheta\neq\vartheta_0$ ) ist dabei nicht beliebig. Das weitere Vorgehen beim Durchführen des Hypothesentests wird asymmetrisch sein. Es wird die Frage geprüft werden, ob die konkrete Stichprobe geben die Nullhypothese spricht. Falls ja, dann wird die Nullhypothese verworfen. Falls nein, so geht man davon aus, dass die Nullhypothese gilt. Jedoch verwirft man in letzterem Fall die Gegenhypothese nicht! Dieses Vorgehen kann mit dem juristischen Grundsatz “im Zweifel für den Angeklagten” verglichen werden. Man sucht nicht nach einem Unschuldsbeweis, sondern nach einem Schuldbeweis. Solange dieser nicht vorliegt gilt die Unschuldsvermutung. Entsprechend ist als Nullhypothese die Hypothese zu wählen, die im gegebenen Kontext als zutreffender erscheint.

Beispiel

Ein Abfüllanlage soll auf Einhalten der Sollabfüllmenge $\vartheta_0$ geprüft werden. Da aus Erfahrung (und der zweckmäßigen Konstruktion der Anlage) davon auszugehen ist, dass die mittlere Abfüllmenge $\vartheta$ der Sollabfüllmenge entspricht, wird die Nullhypothese

H_0:\;\vartheta=\vartheta_0

(1)

verwendet.

Es wird nun eine Stichprobe aus der Produktion entnommen. Spricht diese gegen die Nullhypothese, so geht man davon aus, dass die Anlage defekt ist bzw. die Gegenhypothese $\vartheta\neq\vartheta_0$ gilt. Spricht die Stichprobe nicht gegen die Nullhypothese, so geht man davon aus, dass die Anlage in Ordnung ist. Eine einzelne konkrete Stichprobe ist aber kein Beweis, dass die Anlage immer richtig abfüllt!

Aus praktischer Sicht ist die Nullhypothese hier: “Die Anlage füllt immer richtig ab.” Gegenhypothese: “Die Anlage füllt manchmal falsch ab.” In der mathematischen Formulierung der Hypothesen (also $\vartheta=\vartheta_0$ vs. $\vartheta\neq\vartheta_0$ ) taucht die Unterscheidung zwischen “immer” und “manchmal” nicht auf. Diese wird erst durch das asymmetrische Schließen aus der konkreten Stichprobe in den Entscheidungsprozess eingebracht.

Das asymmetrische Vorgehen ist nötig, da einerseits die Arbeit mit dem Verteilungsparameter $\vartheta$ keine Unterscheidung in “Hypothese gilt in jedem Fall” und “Hypothese gilt manchmal nicht” zulässt, andererseits aber genau diese Unterscheidung im praktischen Einsatz relevant ist. Erst die Kombination aus abstrakter, deterministischer Formulierung (Hypothese über Verteilungsparameter) und der zweckmäßigen Interpretation von zufälligen Vorgängen (Stichprobe) schafft ein wirkungsvolles mathematisches Werkzeug!

8.5.3Bewertung der Stichprobe¶

Es bleibt noch zu klären, wann eine Stichprobe für bzw. gegen die Nullhypothese spricht. Man nimmt an, dass die Nullhypothese erfüllt ist und betrachtet die sich daraus ergebenden Wahrscheinlichkeiten für alle denkbaren Stichproben. Um nicht direkt mit den vektorwertigen Stichproben arbeiten zu müssen wählt man eine Schätzfunktion $T_n$ , die Informationen aus der Stichprobe zu einem Wert zusammenfasst.

Üblicherweise (z.B. bei normalverteilter Grundgesamtheit) kann jede konkrete Stichprobe bzw. jeder Schätzwert auftreten, sodass die Frage, ob die gezogene Stichprobe unter Annahme von $H_0$ möglich ist, stets mit “ja” zu beantworten ist, also keine sinnvolle Entscheidungsgrundlage liefert. Analog zum Vorgehen bei Bereichsschätzungen legt man (vor dem Ziehen der Stichproben!) eine kleine Irrtumswahrscheinlichkeit $\alpha>0$ fest und wählt einen sogenannten kritischen Bereich $K\subseteq\bbR$ , der

P(T_n\in K)=\alpha

(2)

erfüllt. Der kritische Bereich markiert also die Schätzwerte, die unter Annahme von $H_0$ sehr unwahrscheinlich sind.

Gilt nun $t\in K$ für den zur konkreten Stichprobe gehörenden Schätzwert $t$ , so verwirft man die Nullhypothese, da der Schätzwert (und damit die Stichprobe) bei Gültigkeit von $H_0$ eigentlich nicht auftreten sollte (bis auf die kleine Irrtumswahrscheinlichkeit $\alpha$ ). Gilt hingegen $t\notin K$ , so ist die beobachtete Stichprobe eine von denen, die unter Annahme von $H_0$ zu erwarten ist. Die Stichprobe spricht in diesem Fall also nicht gegen $H_0$ .

Die Wahl von $T_n$ und $K$ ist nicht beliebig, sondern sollte so erfolgen, dass der Test vorteilhafte Eigenschaften hat. Was das im Detail bedeutet und wie man $T_n$ und $K$ systematisch wählt, wird hier nicht behandelt. Für übliche Testaufgaben, können geeignete Wahlen aus Formelsammlungen entnommen werden.

Übersicht der Arbeitsschritte:

Nullhypothese $H_0$ aufstellen.
Irrtumswahrscheinlichkeit $\alpha$ wählen, z.B. 0.005, 0.01, 0.05.
Schätzfunktion $T_n$ und kritischen Bereich $K$ wählen (Formelsammlung).
Schätzwert $t$ zur konkreten Stichprobe berechnen.
Entscheidung treffen: Gilt $t\notin K$ , so wird $H_0$ angenommen, sonst abgelehnt.

Beispiel

Ein Gerät zur Längenmessung soll auf korrekte Funktion überprüft werden. Dazu werden $n=10$ Messungen einer Strecke von 1000 Metern durchgeführt. Folgende Messwerte werden abgelesen (in Meter):

998.0,\; 1001.0,\; 1003.0,\; 1000.5,\; 999.0,\; 997.5,\; 1000.0,\; 999.5,\; 996.0,\; 998.5.

(3)

Kann man auf dieser Grundlage sagen, dass das Gerät korrekt arbeitet?

Gehen davon aus, dass die Messwerte einer Normalverteilung mit Erwartungswert $\mu$ folgen, wobei wir die Varianz nicht kennen.

Nullhypothese: $\mu=1000$ .

Irrtumswahrscheinlichkeit: $\alpha=0.025$ .

Test für Erwartungswert bei normalverteilter Grundgesamtheit mit unbekannter Varianz (Einstichproben-t-Test):

$T_n=(\overline{x}-1000)\,\frac{\sqrt{n}}{s}$
(4)
mit
$\overline{x}:=\frac{1}{n}\,\sum_{k=1}^n x_k\qquad\text{und}\qquad s^2:=\frac{1}{n-1}\,\sum_{k=1}^n (x_k-\overline{x})^2$
(5)
$K=\{x\in\bbR:\;|x|>t_{1-\frac{\alpha}{2},n-1}\},$
(6)
wobei $t_{1-\frac{\alpha}{2},n-1}$ ein Quantil der Studentschen t-Verteilung ist.

import numpy as np
import scipy.special

x = np.array([998.0, 1001.0, 1003.0, 1000.5, 999.0,
              997.5, 1000.0, 999.5, 996.0, 998.5])

n = len(x)
mu0 = 1000
alpha = 0.025

t = (x.mean() - mu0) * n ** 0.5 / x.std(ddof=1)
K_high = scipy.special.stdtrit(n, 1 - 0.5 * alpha)
K_low = -K_high

print(f't = {t:0.4f}')
print(f'K = (-∞, {K_low:0.4f}) ∪ ({K_high:0.4f}, ∞)')

t = -1.1209
K = (-∞, -2.6338) ∪ (2.6338, ∞)

Die Stichprobe spricht also nicht gegen die Nullhypothese. Auf Basis der Stichprobe kann davon ausgegangen werden, dass das Gerät korrekt arbeitet.

8.5.4Fehlentscheidungen¶

Auch wenn die Nullhypothese wahr sein sollte, wird bei $100\,\alpha$ Prozent der konkreten Stichproben die Nullhypothese abgelehnt. Diese Fehlentscheidung nennt man Fehler 1. Art (oder $\alpha$ -Fehler). Die Wahrscheinlichkeit für eine solche Fehlentscheidung liegt bei $\alpha$ . Wurde $\alpha=0.01$ gewählt, so führen im Mittel 1 Prozent der gezogenen Stichproben zum Ablehnen der Nullhypothese, obwohl ist richtig war.

Ist umgkehrt die Nullhypothese falsch, so kann es sein, dass sie dennoch auf Grundlage einer konkreten Stichprobe nicht abgelehnt wird. Die Wahrscheinlichkeit für einen solchen Fehler 2. Art (oder $\beta$ -Fehler) ist im Allgemeinen unbekannt. Bei der Konstruktion von Tests (Schätzfunktion und kritischer Bereich) bemüht man sich jedoch, Fehler 2. Art unter allen denkbaren Tests möglichst klein zu bekommen. Ist dies nachweisbar gelungen, so spricht man auch von einem optimalen Test.

8.5 Hypothesentests

8.5.1Ziel und Beispiel¶

8.5.2Nullhypothese und Gegenhypothese¶

8.5.3Bewertung der Stichprobe¶

8.5.4Fehlentscheidungen¶