6 Partielle Differentialgleichungen

Gleichungen, die eine Funktion mehrerer Veränderlicher mit ihren partiellen Ableitungen in Verbindung setzen, heißen partielle Differentialgleichungen (kurz: PDE für “partial differential equation”). Lösung einer PDE ist also eine Funktion.

Zusammenhänge und Gesetzmäßigkeiten großer Teile der Physik und anderer Naturwissenschaften, aber der Wirtschaftswissenschaften können durch partielle PDEs ausgedrückt werden. Sie sind somit eines der wichtigsten Modellierungswerkzeuge.

Ist nur eine Funktion einer Veränderlichen gesucht, so spricht man von gewöhnlichen Differentialgleichungen (kurz: ODE für “ordinary differential equation”). Diese sind ebenfalls ein weit verbreitetes Werkzeug zur Modellierung von naturwissenschaftlichen, technischen und ökonomischen Zusammenhängen, sind aber deutlich einfacher zu handhaben und deswegen hier nicht explizit Thema. ODEs lassen sich meist mit relativ einfachen Standardverfahren lösen, welche fertig implementiert in Software-Bibliotheken verfügbar sind.

Wir beschränken uns hier auf wichtige, oft auftretende PDE-Typen. Insbesondere werden wir nur lineare PDEs betrachten, also solche, in denen die gesuchte Funktion und deren partielle Ableitungen nur in Linearkombinationen miteinander verknüpft werden.

Das Lösen von PDEs erfolgt heute ausschließlich numerisch. Analytisches Lösen ist nur in wenigen Spezialfällen möglich. Schon die Frage, ob überhaupt eine Lösung existiert und diese eindeutig ist, ist oft nur mit erheblichem mathematischem Aufwand zu beantworten.

6.1PDEs erster Ordnung¶

6.1.1Struktur¶

Zusätzlich können noch Anfangs- oder Randbedingungen gegeben sein. Anfangsbedingungen geben die gesuchte Funktion zu einem Zeitpunkt vor, sofern eine der Variablen der Zeit entspricht. Randbedinungen geben die gesuchte Funktion auf dem Rand $\partial B$ von $B$ vor. Kombinationen (Anfangsrandbedinung) und weitere Arten von Randbedingungen (z.B. Vorgabe der Richtungsableitungen senkrecht zur Randlinie) sind in vielfältiger Weise möglich und üblich.

6.1.2Beispiel: Kontinuitätsgleichung¶

Modellieren die Ausbreitung eines Ölteppichs auf einer Wasseroberfläche unter Strömungseinfluss.

Sei $\underline{v}(x_1,x_2,t)\in\bbR^2$ der Strömungsvektor (Richtung und Geschwindigkeit) einer Wasserobfläche ($\bbR^2$) am Punkt $(x_1,x_2)$ zur Zeit $t$. Die Öldichte (Masse pro Fläche) sei durch $\varrho(x_1,x_2,t)$ beschrieben. Ist

gegeben, so interessiert uns die Veränderung der Öldichte im Laufe der Zeit.

Offensichtliche Lösungen:

• Falls $\underline{v}\equiv 0$ (keine Strömung), so muss zu jeder Zeit $\varrho\equiv\varrho_0$ gelten.

• Ist $\underline{v}$ unabhängig von Ort und Zeit immer gleich (gleichmäßige Strömung in eine feste Richtung), so entsteht $\varrho$ zur Zeit $t$ durch Verschieben von $\varrho_0$. Dabei ist die Länge der Verschiebungsstrecke proportional zu $t$.

Die Lösung für allgemeines $\underline{v}$ muss die PDE

für $(x_1,x_2)\in\bbR^2$ und $t\in[0,\infty)$ erfüllen. Diese erhält man durch Vergleich der Ölmasse in einem beliebig Gebiet mit dem Ölzufluss und -abfluss über den Rand des Gebiets und Grenzübergang zu beliebig kleinen Gebieten (IDVID 610).

6.1.3Lösungsansätze¶

PDEs erste Ordnung können auf (nichtlineare) Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen zurückgeführt werden.

Alternativ ist die später zu behandelnde Methode der finiten Differenzen einsetzbar.

6.2PDEs zweiter Ordnung¶

6.2.1Struktur¶

Analog zu PDE erster Ordnung werden meist zusätzliche Anfangs- und Randbedingungen formuliert.

Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen sind nicht allgemein bekannt, sondern müssen im Einzelfall untersucht werden.

Die Lösungseigenschaften und geeignete Lösungsverfahren hängen wesentlich von der Koeffizientenmatrix

ab. Diese ist üblicherweise symmetrisch für alle $\underline{x}$. In diesem Fall unterscheidet man vier Situationen:

6.2.2Beispiel: Potentialgleichung¶

Poisson-Gleichungen sind elliptische PDE. Sie tauchen in zahlreichen physikalischen Zusammenhängen auf (Elektrostatik, Wärmeleitung, Strömungsmechanik,...). Die gegebene Funktion $f$ modelliert dabei das Vorhandensein von Quellen und Senken, in der Elektrostatik also z.B. die Ladungsverteilung im Gebiet. $\nabla y$ ist dann der daraus resultierende Stromfluss und $\Delta y=\mathrm{div}\,\nabla y$ liefert die Quellen und Senken in diesem Fluss. Die Potentialgleichung $\Delta y=0$ modelliert ein Erhaltungsgesetz, welches für viele physikalische Prozesse gilt: “Was rein fließt, muss auch wieder raus fließen”.

Für die Potentialgleichung auf $B=\bbR^2\setminus\{0\}$ ohne Randbedingungen ist bekannt, dass stets radialsymmetrische Lösungen existieren, also Lösungen, die nicht direkt von $\underline{x}$, sondern nur von $r:=\sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2}$ abhängen. Setzen wir $u(r):=y(\underline{x})$ so hat $u$ die Form

Alle Vielfachen davon sind ebenfalls Lösungen (IDVID 620).

Auch zu einem anderen “Mittelpunkt” verschobene Varianten dieser Funktionen sind wieder Lösungen und Summen von Lösungen sind wieder Lösungen. Bei gegebenen Randbedingungen sehen die Lösungen zwangsläufig anders aus.

Bei Dirichlet-Randbedingungen ist die Lösung eindeutig, falls sie existiert. Bei Neumann-Randbedingungen unterscheiden sich alle Lösungen nur um eine additive Konstante.

6.2.3Beispiel: Diffusionsgleichung¶

Wollen die Wärmeverteilung im Laufe der Zeit in einem Körper $B\subseteq\bbR^n$ bei gegebenen Anfangs- und Randbedingungen modellieren. Analog zur Massenbilanz beim Ölteppichbeispiel führt hier eine Energiebilanz zur PDE

(IDVID 630). Dabei sind

• $u(\underline{x},t)$ die Temperatur des Körpers am Punkt $\underline{x}$ zur Teit $t$,

• $\varrho$ die Dichte des Materials (überall gleich),

• $c$ die spezifische Wärmekapazität des Materials (überall gleich),

• $\lambda$ die spezifische Wärmeleitfähigkeit des Materials (überall gleich).

Um die Temperatur zu einer Zeit $t$ berechnen zu können, muss einerseits die Temperaturverteilung zu einem früheren Zeitpunkt bekannt sein (Anfangsbedingung); andererseits muss der Wärmezufluss oder -abfluss über den Rand des Gebietes im Laufe der Zeit bekannt sein.

Betrachten ein einfaches 1D-Beispiel um eine Idee vom Verhalten der Lösungen der Wärmeleitungsgleichung zu bekommen.

6.2.4Beispiel: Wellengleichung¶

Für die Auslenkung $u(x,t)$ einer Saite $B=[0,1]$ gilt

(IDVID 650). Dabei ist $\varrho>0$ die Dichte der Saite (Masse pro Länge) und $\sigma>0$ ist Zugspannung in der Saite im Zustand minimaler Spannung. Bei gegebener Anfangsauslenkung, gegebener Anfangsgeschwindigkeit und geeigneten Randbedinungen beschreibt diese PDE den zeitlichen Verlauf der Auslenkung.

Allgemeiner gilt:

Lösungen der Wellengleichungen beschreiben die Auslenkung $u(\underline{x},t)$ eines Mediums (Saite, Membran, Luft,...) an einer Stelle $\underline{x}\in\bbR^n$ zur Zeit $t>0$. Die Konstante $c$ ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellen (Lichtgeschwindigkeit bei elektromagnetischen Wellen, Schallgeschwindigkeit bei Schallwellen,...).

Die Struktur der Lösungen hängt stark von der Raumdimension ab.

6.2.5Lösungsansätze¶

Je nach Gleichungstyp (elliptisch, parabolisch, hyperbolisch) und Randbedingungen kommen verschiedene analytische Lösungsansätze in Frage. Diese sind allerdings fast immer extrem aufwendig und erfordern tiefere mathematische Kenntnisse (Umgang mit Funktionenreihen,...). Teilweise lassen sich PDEs auf gewöhnliche Differentialgleichungen oder System gewöhnlicher Differentialgleichungen zurückführen, welche dann ebenfalls mit recht hohem Aufwand zu lösen sind.

Für den pratkischen Einsatz erfolgt das Lösen von PDE 2. Ordnung ausschließlich numerisch.