Fallstudie: Stationäre Wärmeleitung - Wissenschaftliches Rechnen (i788)

Lösen ein stationäres Wärmeleitproblem in der Ebene mittels FEM. Dabei bedeutet “stationär”, dass wir nicht die zeitliche Entwicklung simulieren, sondern den nach hinreichend langer Wartezeit vom betrachteten physikalischen System eingenommenen Zustand. Sind Wärmezufluss und -abfluss in einem Körper über einen langen Zeitraum konstant, so wird sich eine stabile Temperaturverteilung im Körper einstellen. Dieser stabile Zustand soll simuliert werden.

12.1Modell¶

Sei $B\subseteq\bbR^2$ die Querschnittsfläche eines Kühlkörpers (z.B. einer CPU). Am unteren Rand

\Gamma_2:=\{(x,0):\;x\in[-1,1]\}

erfolgt ein zeitlich konstanter Wärmeeintrag

g_2(x,0):=1-x^2.

Am restlichen Rand $\Gamma_1$ liegt die Umgebungstemperatur stets bei

g_1(x,y)=20

(Luftstrom). Im Inneren des Kühlkörpers gilt

\Delta u=0

für die Temperatur $u:B\to\bbR$ .

12.2Schwache Formulierung¶

Die schwache Formulierung erhalten wir als spezialfall der schwachen Formulierung der Poisson-Gleichung:

Finde $u_0\in V$ , sodass

\int_B \nabla u_0\circ\nabla v\diff b=\int_{\Gamma_2}g_2\,v\diff s-\int_B \nabla u_1\circ\nabla v\diff b

für alle $v\in V$ gilt. Dabei ist

V:=\{v\in H^1(B):\;v(x)=0\text{ für }x\in\Gamma_1\}

und $u_1\in H^1(B)$ ist eine Funktion, die auf $\Gamma_1$ gerade $g_1$ entspricht. Die gesuchte Lösung ist dann

u:=u_0+u_1.

12.3Gebietszerlegung¶

wird fortgesetzt...