10 Schwache Formulierung von PDEs

Ziel ist die Umsetzung einer weiteren, deutlich besseren Klasse von Lösungsverfahren für partielle Differentialgleichung: die so genannten Finite-Elemente-Verfahren (FEM). Diese Lösen einige Probleme, die bei FDM große Schwierigkeiten bereiten:

• Umgang mit komplexen Gebietsrändern,

• unterschiedliche Diskretisierungsfeinheit in verschiedenen Teilgebieten,

• Handhabung von Lösungsfunktionen mit nicht glatten Stellen (z.B. “Knicke” oder Sprünge an Materialwechseln).

Finite-Elemente-Verfahren arbeiten nicht direkt mit der gegebenen PDE, sondern verwenden eine Umformulierung als Integralgleichungen. Diese sogenannte schwache Formulierung benötigt einigen mathematischen Unterbau, der über die üblichen Grundvorlesungen zur Mathematik hinausgeht. Hier führen wir die Dinge nur soweit ein, dass wir FEM anwenden können, und verzichten an manchen Stellen auf hundertprozentige Exaktheit.

10.1Quadratisch integrierbare Funktionen¶

Sei $B\subseteq\bbR^n$ beschränkt und abgeschlossen. Dann können wir jeder Funktion $f:B\to\bbR$, für die das Integral existiert und endlich ist, den Wert

zuordnen. Funktionen, für die das Integral existiert und endlich ist, heißen quadratisch integrierbar.

Skalare Vielfache und Summen quadratische integrierbarer Funktionen sind wieder quadratisch Integrierbar (man sagt: sie bilden einen linearen Raum oder auch Vektorraum).

Für die praktische Anwendung genügt es, wenn man sich unter “fast überall gleich” vorstellt, dass zwei Funktionen sich nur an endlichen vielen oder abzählbar vielen Stellen unterscheiden. Es gibt aber auch überabzählbare Mengen, die beim Integrieren keine Rolle spielen (z.B. die Cantor-Menge).

$L^2(B)$ ist ein normierter linearer Raum mit der Norm $\|[f]\|_2$ für $[f]\in L^2(B)$. Die Summe zweier Äquivalenzklassen ist dabei die Äquivalenzklasse, zu der die Summe zweier beliebiger Vertreter der Summanden-Äquivalenzklassen gehört. Analog ist das skalare Vielfache einer Äquivalenzklasse definiert. “Normiert” heißt an dieser Stelle, dass wir den Elementen des Raumes eine “Länge” zuordnen können und damit auch Abstände zwischen Elementen messen können.

10.2Schwache Ableitungen¶

Der übliche Ableitungsbegriff beruht auf der Punktauswertung von Funktionen (Differenzenquotient), ist also für verallgemeinerte Funktionen unbrauchbar. Führen deshalb Ableitungen nun anders ein als bisher gewohnt und werden dann feststellen, dass das Ergebnis im Wesentlichen das selbe ist, aber auch verallgemeinerte Funktionen abdeckt.

Offensichtlich ist es bei der Definition der verallgemeinerten Ableitung völlig egal, welcher konkrete Vertreter der betrachteten Äquivalenzklasse gewählt wird. Verallgemeinerte Differenzierbarkeit ist also wieder eine Eigenschaft der gesamten Äquivalenzklasse.

10.3Idee der schwachen Formulierung¶

Da man gern auch nicht (klassisch) differenzierbare Funktionen als Lösungen von PDEs zulassen möchte, erweitert man die Lösungssuche auf verallgemeinert differenzierbare Funktionen. Verallgemeinerte Differenzierbarkeit ist jedoch nicht punktweise als Grenzwert von Differenzenquotienten definiert, sondern “global” für die ganze Funktion. Entsprechend müssen die betrachteten PDE durch im Wesentlichen äquivalente Integralgleichungen ersetzt werden, die dann für gewisse Mengen von Testfunktionen erfüllt sein sollen.

Die Umformulierung als Integralgleichung öffnet gleichzeit die Tür für flexiblere Diskretisierungs- und Lösungsverfahren, die bei klassisch formulierten PDEs so nicht einsetzbar sind.

Wie eine solche “schwache” Formulierung aussieht, hängt von der konkreten PDE ab. Für einige Klassen von PDE haben sich allgemein übliche schwache Formulierungen etabliert, sodass man dann auch von der (!) schwachen Formulierung spricht. Ziele beim Suchen einer schwachen Formulierung sind:

• Vermeidung klassischer Ableitungen,

• möglichst niedrige Ordnung auftretender (verallgemeinerter) Ableitungen,

• einfaches algorithmisches Lösen mit Standardverfahren.

Die ersten beiden Punkte werde auch unter “geringe Regularität der Lösungen” zusammengefasst. Hinter dem dritten Punkt verbirgt sich das in Kürze zu behandelnde Finite-Elemente-Verfahren. Als Vorbereitung eine recht allgemeine Problemklasse, die übliche schwache Formulierungen für PDF abdeckt, aber auch abseits von PDEs von Bedeutung ist.

10.4Abstrakte Form schwacher Formulierungen¶

Finden wir für eine gegebene PDE eine schwache Formulierung in der Form (16), die die drei Bedingungen erfüllt, so sind Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung garantiert.

10.5Diskretisierung der abstrakten Formulierung¶

Üblicherweise ist $V$ unendlichdimensional. Für das Lösen am Computer müssen wir uns also auf einen (endlich dimensionalen) Teilraum $V_m$ einschränken. Hier bezeichne $m$ die Dimension des Teilraums. In diesem Teilraum können wir eine Basis $v_1,\ldots,v_m\in V$ wählen. Jede Funktion $v$ in $V_m$ kann also in der Form

mit gewissen Zahlen $c_1,\ldots,c_m$ geschrieben werden. Die Gleichung (16) gilt nun genau dann für alle $v\in V_m$, wenn die $m$ Gleichungen

erfüllt sind (IDVID 1030).

Analog wählt man einen zweiten (oder den gleichen) Teilraum $U_n$ von $V$ und beschränkt die Lösungssuche auf diesen. Die gesuchte Lösung $u$ wird mittels einer Basis $u_1,\ldots,u_n\in U_n$ als

geschrieben, sodass nur noch die Zahlen $c_1,\ldots,c_n$ zu ermitteln sind. Einsetzen in (22) liefert das lineare Gleichungssystem

zur Berechnung der $c_l$ und damit zur Berechung einer Näherungslösung $u$ von (16) (IDVID 1035).

10.6Beispiel: Schwache Formulierung für eine PDE erster Ordnung¶

Betrachten als einfaches Beispiel eine PDE erster Ordnung auf einem eindimensionalen Gebiet (also eigentlich eine gewöhnliche Differentialgleichung). Zu gegebener Funktion $f$ ist eine Funktion $u$ gesucht, sodass

gilt. Offensichtlich ist $u$ eine Stammfunktion von $f$. Um Eindeutigkeit zu sichern fordern wir noch

Die Funktion $f$ könnte z.B. eine von einem Beschleunigungssensor gemessene Beschleunigung sein und $u$ ist die daraus zu ermittelnde Geschwindigkeit ($x$ wäre dann die Zeit).

Klar ist, dass die Lösung $u$ (klassisch) differenzierbar sein muss. Hat $f$ aber beispielsweise eine Sprungstelle (sprunghafte Erhöhung er Beschleunigung durch “Auffahrunfall”), so müsste $u$ einen Knick (nicht differenzierbare Stelle) haben. Dieser Fall kann mit der klassischen Formulierung der PDE nicht abgedeckt werden.

Um eine schwache Formulierung zu erhalten multiplizieren wir die Differentialgleichung zunächst mit Testfunktionen $v:[0,1]\to\bbR$ und integrieren beider Seiten über das Gebiet:

Ist $f\in L^2(B)$, kann man zeigen, dass das rechte Integral für alle $v\in L^2(B)$ einen endlichen Wert liefert. Für $u\in H^1(B)$ ist entsprechend das linke Integral wohldefiniert. Können die Gleichheit der Integrale also für alle $v\in V:=L^2(B)$ fordern.

Man kann nun zeigen, dass diese schwache Formulierung der PDE für jedes $f\in L^2(B)$ eine eindeutige Lösung besitzt; auch dann, wenn wir $u'$ als schwache Ableitung interpretieren. Es sind nun auch nicht klassisch differenzierbare Lösungen möglich. Die von den Lösungen geforderte Regularität ist also niedriger als bei der ursprünglichen PDE ohne wesentliche Änderungen am Modell.

Die gefundene schwache Formulierung passt in das abstrakte Schema (16), wenn wir

und

wählen. Somit kann das entsprechende Diskretisierungsverfahren eingesetzt werden, welches zu einem linearen Gleichungssystem führt.

10.7Schwache Formulierung für elliptische PDE¶

Leiten eine schwache Formulierung für die Poisson-Gleichung mit Dirichlet- und Neumann-Randbedingungen her. Völlig analog kann man schwache Formulierungen für alle elliptischen (!) PDE zweiter Ordnung erhalten. Entsprechend sind bei allen elliptischen PDE Standardlösungsverfahren einsetzbar.

Sei $B\subseteq\bbR^d$ ein Gebiet und $f:B\to\bbR$ eine gegebene Funktion. Zur PDE

fordern wir die Randbedingungen

und

wobei $\partial B=\Gamma_1\cap\Gamma_2$ eine disjunkte Zerlegung des Randes von $B$ ist. $\Gamma_1$ ist gerade der Teil des Randes, auf dem die gesuchte Funktion bekannt ist; $\Gamma_2$ ist der Teil des Randes, auf dem der Fluss über den Rand gegeben ist.

Offensichtlich muss die gesuchte Lösung $u$ mindestens zweimal (klassisch) differenzierbar sein. Mit den folgenden Schritten erhalten wir eine schwache Formulierung:

• Multipliziere die PDE mit einer Testfunktion $v$, die auf dem Rand $\Gamma_1$ Null ist.

• Integriere beide Seiten der entstandenen Gleichung über ganz $B$.

• Verwende die Green’sche Formel (partielle Integration für Bereichsintegrale)

  $$\int_B \Delta u\,v\diff b=\int_{\partial B}\frac{\partial}{\partial n}u\,v\diff a-\int_B\nabla u\circ\nabla v\diff b$$

  (33)

  zum Verringern der Ableitungsordnung von $u$, wobei das Integral über $\partial B$ ein Oberflächenintegral erster Art ist (bzw. ein Kurvenintegral erster Art bei $d=2$).

• Vereinfache die Gleichung durch Einsetzen der Neumann-Randbedingungen und durch Beschränkung auf Testfunktionen, die auf $\Gamma_1$ Null sind.

Suchen nun also eine Funktion $u$, sodass

für eine hinreichend große Menge von Testfunktionen $v$ gilt (IDVID 1050).

Die gesuchte Lösung muss nun einerseits in $H^1(B)$ liegen (damit $\nabla u$ im schwachen Sinn existiert) und andererseits die Dirichlet-Randbedingung erfüllen. Die Testfunktionen müssen ebenfalls in $H^1(B)$ liegen und auf dem Rand $\Gamma_1$ Null sein. Wählen also

Die Menge $\{u\in H^1(0):\;u(x)=g_1(x)\text{ für }x\in\Gamma_1\}$, auf die wir die Lösungssuche eingeschränkt haben, ist kein linearer Raum mehr (wegen Randbedingung) und unterscheidet sich von $V$, was zu Problemen bei der Anwendung der abstrakten Formulierung mittels Bilinearform $a$ führt. Wählen wir eine beliebige, feste Funktion $u_1$ aus der Suchmenge, so können wir aber jedes andere $u$ aus dieser Menge als

schreiben. Einsetzen in die schwache Formulierung liefert die nur formal, nicht inhaltlich geänderte schwache Formulierung:

Während in der ursprünglichen PDE die gesuchte Lösung noch zweimal klassisch differenzierbar sein musste, müssen wir bei der schwachen Formulierung nur einmalige schwache Differenzierbarkeit fordern. Außerdem passt die schwache Formulierung mit

und

in das abstrakte Schema, ist also Standardlösungsverfahren zugänglich.