Abbildungen - Mathematik I (i933)

Abbildungen sind neben Mengen das wichtigste sprachliche Mittel in der Mathematik. Oft interessieren weniger die Objekte (z.B. Zahlen) selbst, sondern deren Beziehungen zueinander. Eine Analogie im täglichen Leben ist die Bedeutung von Daten in “sozialen” Netzwerken und Messenger-Diensten. Es ist kaum von Interesse was jemand schreibt oder sagt, sondern vor allem wer mit wem kommuniziert. Entsprechend stehen nicht die (meist zumindest oberflächlich verschlüsselten) Inhalte im Fokus von Überwachungsorganisationen und Datenhändlern, sondern die Metadaten, also wer wann mit wem kommuniziert hat.

4.2.1Begriffe und Beispiele¶

Merke

Eine Abbildung ist eine Zuordnung zwischen den Elementen zweier Mengen $A$ und $B$ , bei denen jedem Element der Menge $A$ genau ein Element der Menge $B$ zugeordnet wird. Die Menge $A$ wird als Definitionsbereich der Abbildung bezeichnet. Die Menge aller Elemente von $B$ , die einem Element von $A$ zugeordnet sind, heißt Wertebereich der Abbildung. Die Menge $B$ selbst wird als Bildbereich oder als Grundmenge des Wertebereichs bezeichnet.

Zur einfacheren Verwendung bezeichnet man Abbildungen meist mit einem Symbol, z.B. $f$ , und schreibt $f:A\to B$ , wenn man Definitions- und Bildbereich gleich mit angegeben möchte. Beachte, dass $B$ üblicherweise nicht der Wertebereich selbst, sondern eine Obermenge des Wertebereichs ist. Das genaue Bestimmen des Wertebereichs erfordert meist etwas Mühe, die man sich auf diese Weise (zunächst) spart.

Der Definitionsbereich einer Abbildung $f$ wird auch mit $D(f)$ bezeichnet, der Wertebereich mit $W(f)$ . Diese Symbole sind allerdings in der Literatur nicht einheitlich, sodass stets genau zu prüfen ist, was mit welchem Symbol gemeint ist.

Die Festlegung der Zuordnungsvorschrift kann entweder in Alltagssprache oder in Form von mathematischen Ausdrücken erfolgen. Ist $f:\bbR\to\bbR$ beispielsweise eine Abbildung, die jeder reellen Zahl $x$ wieder eine reelle Zahl zuordnet, so schreibt man $f(x):=x^2$ oder $f:x\mapsto x^2$ (beachte die spezielle Form des Pfeilanfangs!). Umgekehrt verwendet man bei gegebener Abbildung $f:X\to Y$ das Symbol $f(x)$ für das Element in $Y$ , auf das ein gegebenes Element $x\in X$ durch $f$ abgebildet wird.

Abbildungen treten in ganz verschiedenen Varianten auf. Weiter unten betrachten wir einige wichtige Spezialfälle; hier zunächst eine buntere Beispielsammlung.

Wichtig: Gewöhnen Sie sich von Anfang an an Flexibiliät bei der Wahl von Symbolen. Eine Abbildung muss keineswegs immer $f$ heißen!

Beispiel (Klausurnoten)

Sei $N$ die Menge aller Noten, die bei der Bewertung der Klausuren eines bestimmten Studierendenjahrgangs auftraten. Die Abbildung $S$ ordne jeder Note die Menge aller Studierenden zu, die diese Note erhalten haben. Beachte:

Der Definitionsbereich von $S$ ist auch dann die komplette Menge $N$ , wenn nicht jede Note vergeben worden ist. Beispielsweise könnte die Note 5.0 nicht auftauchen (alle haben bestanden). Dann wäre $S(5.0)=\emptyset$ (leere Menge).
Die genaue Formulierung ist hier wichtig. Falsch wäre
Jeder Note werden die Studierenden mit dieser Note zugeordnet.
Denn diese Formulierung widerspricht der Forderung, dass den Elementen des Definitionsbereichs jeweils genau ein Element des Wertebereichs zugeordnet wird. In der korrekten Formulierung oben wird jeder Note eine (!) Menge von Studierenden zugeordnet. Ob solch eine Menge dann kein oder ein oder mehrere Elemente enthält, ist unerheblich für die formale Korrektheit der Definition der Abbildung.

Zur Beschreibung grundlegender Eigenschaften von Abbildungen führen wir folgende Begriffe ein.

Beachte, dass Surjektivität von der Wahl der Grundmenge $B$ abhängt. Bei gleichem Wertebereich kann $B$ unterschiedlich aussehen. So ist beispielsweise die Abbildung $f:\bbR\to\bbR$ , $x\mapsto x^2$ nicht surjektiv, die Abbildung $g:\bbR\to[0,\infty)$ , $x\mapsto x^2$ hingegen schon.

Zu den obigen drei Beispielen:

Die Zuordnung des Flächeninhalts ist nicht injektiv, da verschiedene Flächen den gleichen Inhalt haben können. Sie ist aber surjektiv, da wir zu jeder reellen Zahl eine Fläche mit diesem Inhalt finden können. Die Abbildung ist nicht bijektiv.
Die Zuordnung der Studierenden zu den Klausurnoten ist injektiv, denn an die gleiche Gruppe von Studierenden können nicht zwei verschiedene Noten vergeben worden sein. Zur Klärung der Surjektivität müssen wir uns zunächst auf eine Grundmenge für den Wertebereich festlegen. Da prinzipiell jede Kombination von Studierenden bei diesem Abbildungstyp auftreten kann, ist die Potenzmenge der Studierenden (also die Menge aller möglichen Teilmengen von Studierenden) eine geeignete Wahl. Da in der Abbildung viel weniger Noten zur Verfügung stehen als es verschiedene Teilmengen von Studierenden gibt, ist die Abbildung offensichtlich nicht surjektiv. Somit ist sie auch nicht bijektiv.
Die Zuordnung der geraden Zahlen zu den natürlichen Zahlen ist sowohl injektiv (keine gerade Zahl wird zwei verschiedenen Zahlen zugeordnet) als auch surjektiv (jede gerade Zahl tritt in der Zuordnung auf). Also ist die Abbildung bijektiv.

Die Frage nach Injektivität und Surjektivität kann auch anhand der Lösbarkeit von Gleichungen beschrieben werden: Ist $f:X\to Y$ eine beliebige Abbildung und ist $y\in Y$ , so können wir nach Lösbarkeit und Lösungen $x\in X$ der Gleichung

f(x)=y

(3)

fragen. Offensichtlich besitzt die Gleichung genau dann für jedes $y\in Y$ eine Lösung, wenn $f$ surjektiv ist. Außerdem ist für $y$ aus dem Wertebereich von $f$ die Lösung genau dann eindeutig, wenn $f$ injektiv ist.

Folgender Begriff taucht gelegentlich auf, lierfert aber inhaltlich keine neuen Aspekte. Er ist ein Beispiel für Begriffe, die rein zur sprachlichen Vereinfachung bzw. Fixierung dienen.

In die gleiche Rubrik fällt der folgende Begriff:

4.2.2Spezialfall: Punkte und Vektoren¶

Sei $n\in\bbN$ eine feste gegebene Zahl (oft $n=2$ oder $n=3$ ). Ein Punkt ist eine $n$ -Tupel aus $n$ reellen Zahlen. 2-Tupel sind auch als Paare bekannt, 3-Tupel als Tripel, 4-Tupel als Quadrupel usw. Alternativ kann man einen Punkt als Abbildung der Menge $\{1,2,\ldots,n\}$ in die reellen Zahlen ansehen. Die $n$ Bildelemente einer solchen Abbildung nennt man Koordinaten des Punktes. Statt der Klammerschreibweise für das Auswerten einer Abbildung nutzt man hier einfache Auflistungen der Koordinaten. So entspricht die Auflistung $(7,4,5)$ beispielsweise der Abbildung

1\mapsto 7,\quad, 2\mapsto 4,\quad 3\mapsto 5.

(5)

Die Menge aller Punkte zu einem festen $n$ wird mit dem Symbol $\bbR^n$ bezeichnet. So umfasst $\bbR^2$ beispielsweise alle Punkte mit zwei Koordinaten. $\bbR^2$ wird auch als “die Ebene” und $\bbR^3$ als “der Raum” bezeichnet.

Das Wort Vektor ist aus technischer Sicht ein Synonym für Punkt, meint also ein Element aus $\bbR^n$ . Man unterscheidet die Elemente von $\bbR^n$ jedoch gelegentlich nach deren Verwendung. Soll durch ein Element aus $\bbR^n$ ein geometrischer Ort beschrieben werden (“Punkt im Koordinatensystem”), so verwendet man den Begriff Punkt. Soll jedoch eine Richtung beschrieben werden, so spricht man von einem Vektor. Während Punkte, wie oben eingeführt, als richtungslose Auflistung $(a_1,\ldots,a_n)$ ihrer Koordinaten geschrieben werden, werden Vektoren meist als vertikale Listen

{\begin{bmatrix}a_1\\\vdots\\a_n\end{bmatrix}}\quad\text{oder}\quad{\begin{pmatrix}a_1\\\vdots\\a_n\end{pmatrix}}

(6)

ihrer Koordinaten dargestellt. Bei Vektoren spricht man statt von Koordinaten auch von den Komponenten des Vektors.

Die Arbeit mit Punkten und Vektoren wird später detaillierter betrachtet.

4.2.3Spezialfall: Zahlenfolgen¶

Eine Abbildung, die jeder natürlichen Zahl eine reelle Zahl zuordnet, heißt Zahlenfolge. Man weicht hier aus Gewohnheit und aus Gründen der Platzeinsparung von der üblichen Schreibweise für das Auswerten von Abbildungen ab: Ist $a:\bbN\to\bbR$ eine Zahlenfolge, so setzt man

a_n:=a(n)\quad\text{für alle $n\in\bbN$}.

(7)

Man schreibt auch gern $a=(a_1,a_2,\ldots)$ im Sinne eines Punktes (oder Vektors) mit unendlich vielen Koordinaten oder $a=(a_n)_{n\in\bbN}$ .

Gelegentlich treten in der Mathematik doppelt unendliche Zahlenfolgen auf, insbesondere in der Signalverarbeitung. Dies sind Abbildungen $a:\bbZ\to\bbR$ , die auch negative Indizes nutzen, also nach beiden Richtungen laufende Folgen darstellen. In dieser Veranstaltung werden wir solchen Folgen jedoch nicht begegnen.

Zahlenfolgen werden wir in Kürze noch näher betrachten.

4.2.4Spezialfall: Funktionen¶

Bezeichnen Abbildungen zwischen Teilmengen der reellen Zahlen oder Mengen von aus endlich vielen reellen Zahlen zusammengesetzten Objekten (Punkte, Vektoren, Matrizen,...) als Funktion. Dabei soll der Definitionsbereich nicht nur aus einzelnen Zahlen, Punkten usw. bestehen, sondern den kontinuierlichen Charakter der reellen Zahlen tragen. Beispielsweise sind Zahlenfolgen in diesem Sinne also keine Funktionen.

Gelegentlich werden die Begriffe Abbildung und Funktion synonym verwendet; verstehen in dieser Veranstaltung unter Funktionen jedoch nur zahlenbezogene und keine allgemeinen Abbildungen.

Funktionen spielen eine sehr wesentliche Rolle in der angewandten Mathematik, sodass wir ihnen ein eigenes Unterkapitel widmen werden.

4.2.5Spezialfall: Allgemeine Folgen¶

Neben Zahlenfolgen ist gelegentlich auch die Betrachtung anderer Folgen zweckmäßig. Zum Beispiel werden wir im Laufe der Zeit mit Folgen von Punkten in der Ebene arbeiten (müssen). Dies sind dann Abbildungen von $\bbN$ nach $\bbR^2$ . Auch Folgen von Funktionen spielen in der Mathematik und ihren Anwendungen eine wichtige Rolle; jedoch weniger in der Grundlagenausbildung. Wenn wir uns im Laufe des Semesters mit dem Begriff des Flächeninhalts befassen, werden wir auf Folgen von Mengen stoßen, wobei jede dieser Mengen wiederum eine Ansammlung von Mengen sein wird. Folgen, also Abbildung der natürlichen Zahlen in andere Mengen, sind überall...