Zahlenfolgen - Mathematik I (i933)

Der Begriff der Zahlenfolge wurde bereits eingeführt (vgl. Spezialfall: Zahlenfolgen).

4.3.1Visualisierung¶

Die Visualisierung von Zahlenfolgen kann mit dem Python-Paket Matplotlib (und vielen anderen) erfolgen. Zu beachten ist, dass die einzelnen Punkte nicht durch Linien verbunden werden, da Zahlenfolgen nur auf der Menge $\{1,2,\ldots\}$ definiert sind und zwischen diesen Werten nicht.

Beispiel

Die Zahlenfolge

a_n:=\frac{1}{n},\quad n\in\bbN

(1)

kann wie folgt visualisiert werden:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

n = np.arange(1, 30)  # Indizes der Zahlenfolge (natürlich nur endlich viele)
a = 1 / n  # Werte der Zahlenfolge (a ist ein Array mit 29 Einträgen!)

fig, ax = plt.subplots()  # Zeichenfläche und Koordinatensystem erstellen
ax.plot(n, a, 'o')  # 'o' für "keine Linien, aber dicke Punkte"
ax.set_xlabel('n')  # Beschriftung horizontale Achse
ax.set_ylabel('$a_n$')  # Beschriftung vertikale Achse
                        # (Mathe-Modus für Formeln mit $...$ aktivieren)
plt.show()  # Zeichenfläche anzeigen

4.3.2Bedeutung¶

Zahlenfolgen tauchen gelegentlich bei praktischen Aufgabenstellungen auf. Im Rahmen unserer Veranstaltung werden sie aber überwiegend als innermathematisches Werkzeug dienen. Insbesondere bilden sie die Basis für die Konstruktion komplexerer Werkzeuge wie dem Stetigkeitsbegriff, der Differentialrechnung und der Integralrechnung.

Beispiel (Zinseszins)

Als einfaches Beispiel für das Auftreten von Zahlenfolgen in der Praxis kann man üblicherweise auf Jahresbasis stattfindende Kapitalentwicklungen anschauen: Sei ein Startguthaben $g_0>0$ gegeben. Jedes Jahr wird das vorhandene Guthaben mit 1 Prozent Zinsen vergütet. Die Zinsen werden dem Guthaben zugeschlagen und im weiteren Verlauf mit verzinst. Nach einem Jahr steht somit ein größeres Guthaben $g_1$ zur Verfügung; nach zwei Jahren das Guthaben $g_2$ usw. Konkret erhalten wir die Zahlenfolge

(g_1,\,g_2,\,\ldots)=(1.01\,g_0,\,1.01^2\,\,g_0,\,\ldots)

(2)

bzw.

g_n=1.01^n\,g_0,\quad n\in\bbN.

(3)

In einer realen Situation wird die Folge nach ein paar Jahren abbrechen, also gar keine Zahlenfolge im Sinne der mathematischen Begriffs sein. Das Guthaben wird nicht unendlich viele Jahre wachsen; selbst wenn, wird kein Mensch unendlich lange leben um dieses Guthaben “am Ende” in Empfang nehmen zu können. Das mathematische Werkzeug der Zahlenfolge erlaubt jedoch, den Zinseszinsprozess zu modellieren ohne sich über die konkrete Dauer des Prozesses Gedanken machen zu müssen. Wir vereinfachen (!) hier also den realen Vorgang zu einem mathematischen Modell, welches eine schwierige reale Frage (Wie lange soll die Geldanlage laufen?) umgeht, indem es die völlig realitätsferne Idee des Unendlichen einbezieht.

4.3.3Monotonie, Periodizität, Beschränktheit¶

Führen einige Begriffe ein, die im Kontext von Zahlenfolgen gelegentlich Verwendung finden.

Beispielsweise ist die Zahlenfolge in obigem Zinseszinsbeispiel streng monoton wachsend.

Beispielsweise ist die durch $a_n=(-1)^n$ , $n\in\bbN$ , gegebene Folge periodisch mit Periode $N=2$ .

Beispielsweise ist die durch $a_n:=n$ , $n\in\bbN$ , gegebene Folge unbeschränkt. Hingegen ist die durch $a_n:=\frac{1}{n}$ , $n\in\bbN$ , gegebene Folge beschränkt (mit $c=1$ oder größer).

4.3.4Konvergenz¶

Fast immer interessieren bei einer Zahlenfolge gar nicht die vorderen Elemente, sondern nur das Verhalten der Folge “im Unendlichen”. Werden die Folgenelemente beliebig groß (oder klein) oder nähern sie sich einem konkreten Wert an usw.? Zahlenfolgen können regelrecht als Werkzeug für das Arbeiten mit “dem Unendlichen” angesehen werden.

Eine Folge ist also konvergent, wenn ihre Elemente $a_n$ für hinreichend großes $n$ in einem beliebig klein gewählten Intervall $(g-\varepsilon,g+\varepsilon)$ bleiben.

Merke

Eine Zahlenfolge $(a_1,a_2,\ldots)$ heißt divergent, wenn sie nicht konvergent ist. Man unterscheidet bestimmt divergente Folgen und unbestimmt divergente Folgen.

Eine divergente Folge heißt bestimmt divergent, wenn für jede Zahl $c\in\bbR$ ein $m\in\bbN$ existiert, sodass

a_n>c\quad\text{für alle }n\geq m

(9)

gilt, oder wenn für jede Zahl $c\in\bbR$ ein $m\in\bbN$ existiert, sodass

a_n<c\quad\text{für alle }n\geq m

(10)

gilt. Man schreibt dann auch

\lim_{n\to\infty}a_n=\infty\qquad\text{bzw.}\qquad\lim_{n\to\infty}a_n=-\infty.

(11)

Andernfalls heißt die Folge unbestimmt divergent.

Bestimmte Divergenz liegt also vor, wenn eine Folge über jede Schranke wächst oder unter jede Schranke fällt. Ersteres ist bei obigem Zinseszinsbeispiel der Fall.

Beispiele für unbestimmte Divergenz sind (nicht konstante) periodische Folgen.

4.3.5Berechnen von Grenzwerten¶

Das Berechnen von Grenzwerten von Zahlenfolgen ist nur sehr selten nötig. Wir werden zwar viel mit Zahlenfolgen arbeiten, benötigen dabei aber nur das sprachliche Konstrukt und die damit möglichen Formulierungen zu Abläufen mit unendlich vielen Einzelschritten. Geben deshalb hier nur einige Hinweise für das konkrete Ausrechnen von Grenzwerten mit auf den Weg.

4.3.5.1Manuelles Rechnen¶

Für einfache Zahlenfolgen kann der Grenzwert (so er denn existiert) manuell berechnet werden. Dazu bedient man sich einer Tabelle von Grenzwerten für sehr elementare Folgen und einiger Rechenregeln zu Grenzwerten beim Bilden von komplexeren Zahlenfolgen aus diesen elementaren Folgen.

Merke (Rechenregeln für Grenzwerte)

Mit Hilfe folgender Eigenschaften von Grenzwerten können aus Grenzwerten elementarer Folgen Grenzwerte komplexerer Folgen berechnet werden. Dabei sind $(a_1,a_2,\ldots)$ und $(b_1,b_2,\ldots)$ stets zwei konvergente (!) Folgen.

Die elementweise Summe zweier Folgen konvergiert gegen die Summe der Grenzwerte:
$\lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=\lim_{n\to\infty}a_n+\lim_{n\to\infty}b_n.$
(15)
Die Produkt zweier Folgen konvergiert gegen das Produkt der Grenzwerte:
$\lim_{n\to\infty}(a_n\,b_n)=\left(\lim_{n\to\infty}a_n\right)\,\left(\lim_{n\to\infty}b_n\right).$
(16)
Das Vielfache einer Folge konvergiert gegen das Vielfache des Grenzwerts:
$\lim_{n\to\infty}(c\,a_n)=c\,\lim_{n\to\infty}a_n\quad\text{für beliebiges }c\in\bbR.$
(17)
Sind alle Folgenelemente und der Grenzwert von Null verschieden, so konvergiert das Reziproke einer Folge gegen das Reziproke des Grenzwerts:
$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_n}=\frac{1}{\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n}.$
(18)

Beachte, dass die obigen Rechenregeln nur für konvergente Folgen gelten! Bei divergenten Folgen, insbesondere auch bei bestimmt divergenten Folgen, ist nicht immer klar, wie sich Summen und Produkte verhalten (vgl. Übung 3).

4.3.5.2Numerisches Rechnen¶

Das Verhalten einer Zahlenfolge im Unendlichen kann durch (numerisches) Berechnen später Elemente der Folge und ggf. deren grafischer Darstellung erhellt werden. Allerdings sind die daraus gewonnenen Informationen über Konvergenz/Divergenz/Grenzwert als reine Vermutung anzusehen. Prinzipiell ist denkbar, dass eine Folge beispielsweise in den ersten 10 Milliarden Elementen konstant ist und erst dann divergiert. Es kann also nie genügen, nur endlich viele Elemente zu betrachten.

4.3.5.3Symbolisches Rechnen¶

Das Python-Paket SymPy für symbolisches Rechnen bietet auch das Berechnen von Grenzwerten von Zahlenfolgen:

import sympy

n = sympy.symbols('n')

sympy.limit(3 * n ** 2 / (n ** 2 + 2), n, sympy.oo)

n = sympy.symbols('n')

sympy.limit((1 + 2 / n) ** n, n, sympy.oo)