4.1 Aussagen

Die Mathematik tritt uns als Ansammlung von Begriffsdefinitionen und Aussagen zu den Beziehungen zwischen diesen Begriffen entgegen. Aussagen werden auch gern als Satz oder Theorem bezeichnet, wobei je nach Wichtigkeit der Aussage und ihrer Rolle in der Behandlung eines Themas unterschieden wird in Lemma (Hilfssatz), Proposition (Satz), Theorem (Hauptsatz), Korollar (Folgerung).

In dieser Veranstaltung werden wir die traditionelle Trennung der Inhalte in Definition, Satz, Beweis nicht vornehmen, sondern im Sinne der besseren Zugänglichkeit eine weniger strenge Form wählen. Dennoch sollten wir uns mit dem mathematischen Begriff der Aussage näher befassen, da Aussagen stets und ständig eine Rolle spielen werden, bemerkt und unbemerkt.

4.1.1Was ist eine Aussage?¶

Diese Definition des Begriffs “Aussage” klingt banal, ist sie aber keinesweges. Offensichtlich ist

Dresden ist die Hauptstadt von Sachsen.

eine Aussage, sogar eine wahre. Auch

Leipzig ist die Hauptstadt von Sachsen.

ist eine Aussage, jedoch eine falsch oder unwahre.

Wie sieht es aber mit

In 50 Jahren wird Leipzig die Hauptstadt Sachsens sein.

aus? Hier können wir kein klares “wahr” oder “falsch” zuordnen. Wir könnten uns auf den Standpunkt zurückziehen, das die Aussage entweder richtig oder falsch ist und wir nur nicht wissen, welche der beiden Möglichkeiten zutrifft. Tatsächlich kann heute aber niemand wissen, welche Rolle Leipzig in 50 Jahren spielen wird, egal wie viele Informationen zur Verfügung stehen. Man könnte als möglichen Ausweg die Formulierung abschwächen:

In 50 Jahren wird Leipzig wahrscheinlich die Hauptstadt Sachsens sein.

Aber auch hier ist keine klare Zuordnung von “richtig” oder “falsch” möglich. Es handelt sich mehr um eine Meinung als um eine Aussage. Und Meinungen sind bekanntlich nicht klar mit “richtig” oder “falsch” bewertbar.

Anderes Beispiel:

Am 1. Januar 1999 fuhren 23 rote Autos am Hauptgebäude der Hochschule vorbei.

Sehr wahrscheinlich hat an diesem Tag niemand Autos vor der Hochschule gezählt. Es ist also nicht möglich, diesem Satz ein klares “richtig” oder “falsch” zuzuordnen. Die dafür benötigten Informationen liegen objektiv nicht vor.

Den Ansatz, dass Aussagen entweder wahr oder falsch sind, bezeichnet man als zweiwertige Logik. Weniger verbreitete alternative Ansätze sind die dreiwertige Logik, die Fuzzy-Logik und die intuitionistische Logik.

4.1.2Äquivalenz von Aussagen¶

Wir werden bei der Beschäftigung mit Mathematik häufig Aussagen umformen bzw. umformulieren. Ziel ist, diese zu vereinfachen ohne dabei deren Sinngehalt zu verändern. Sind zwei Aussagen entweder beide gleichzeitig wahr oder beide gleichzeitig falsch, so heißen die Aussagen äquivalent. Man sagt auch: die eine Aussage gilt genau dann, wenn die andere Aussage gilt. Als Symbol verwendet man den Äquivalenzpfeil $\Leftrightarrow$ (ein zweiseitiger Pfeil mit doppelter Linie):

Gilt nur die eine Richtung, d.h. folgt aus der Gültigkeit von Aussage 1, dass auch Aussage 2 wahr ist, so schreibt man

Sprechweise: “Aussage 1 impliziert Aussage 2” oder “aus Aussage 1 folgt Aussage 2”. Der Pfeil $\Rightarrow$ heißt Implikationspfeil oder Folgerungspfeil. Alternative Schreibweise:

4.1.3Beschreiben von Mengen durch Aussagen¶

Ein ganz grundlegendes sprachliches Mittel in der Mathematik sind Mengen. Wir werden häufig mit Mengen von Objekten (Zahlen, Vektoren,...) mit gewissen Eigenschaften arbeiten. Welche Eigenschaften gegeben sein müssen, damit ein Objekt zur betrachteten Menge gehört, kann man mittels Aussagen über das Objekt formulieren. Die betrachtete Menge wird dann festgelegt als die Menge aller Objekte, für die eine gegebene Aussage über das einzelne Objekt wahr ist. Schreibweise:

Dabei sind

• $M$ das Symbol für die zu beschreibende Menge,

• $:=$ der Zuweisungsoperator (“gib dem rechten Objekt das linke Symbol als Name”),

• “Grundmenge” die Menge aller zunächst betrachteten Objekte.

Merke: Die vielen Symbole und Formeln in der Mathematik dienen nicht dem Quälen von Studierenden, sondern sind die Arbeitgrundlage für präzises und überschaubares Formulieren komplexer Zusammenhänge.

4.1.4Logik vs. Mengenoperationen¶

Zwei (oder mehr) gegebene Aussagen können durch sogenannte logische Operation zu neuen Aussagen verknüpft werden. So ist die Formulierung

Es gilt Aussage 1 oder Aussage 2.

selbst wieder eine Aussage. Analog gibt es die Und-Verknüpfung, die Entweder-Oder-Verknüpfung und die Nicht-Operation. Letztere ordnet einer Aussage genau die gegenteilige Aussage zu.

Logische Operationen mit Aussagen übertragen sich eins-zu-eins auf Mengen. Dort entstehen dann z.B. Vereinigungen (Oder-Verknüpfung) und Durchschnitte (Und-Verknüpfungen):