Funktionen - Mathematik I (i933)

Der Begriff der Funktion wurde bereits eingeführt (vgl. Spezialfall: Funktionen).

4.4.1Sprachliche Aspekte¶

Funktionen sind ein fundamentales sprachliches Mittel in der Mathematik, welches vielfältige Ausdrucksmöglichkeiten bietet. Um in dieser Vielfalt nicht die Orientierung zu verlieren, ist präzises Formulieren wichtig!

Beispiel

Die Funktion

f:\bbR^4\to\bbR,\qquad f(x_1,y_1,x_2,y_2):=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}

(1)

ordnet den Koordinaten $x_1,y_1,x_2,y_2$ der Punkte $(x_1,y_1)$ und $(x_2,y_2)$ deren Abstand in der Ebene zu.

Inhaltlich identisch, aber formal verschieden, ist die Funktion

g:\bbR^2\times\bbR^2\to\bbR,\qquad g\bigl((x_1,y_1),(x_2,y_2)\bigr):=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2},

(2)

die den zwei Punkten direkt den Abstand zuordnet ohne Umweg über die Koordinaten.

Sind $P_1$ und $P_2$ zwei Punkte in der Ebene, so ist $g(P_1,P_2)$ ein korrekter mathematischer Ausdruck. Der Ausdruck $f(P_1,P_2)$ ist hingegen nicht definiert, da $f$ nur für vier Argumente definiert wurde. Der Ausdruck $f(a)$ für $a\in\bbR^4$ ist wiederum korrekt; $g(a)$ hingegen nicht.

Funktionen (und allgemeinere Abbildungen) sind ein sprachliches Konstrukt, das auch von Computern verstanden wird. Dort sind Funktionen fast so elementar wichtig wie in der Mathematik. Das obige Beispiel kann am Computer wie folgt umgesetzt werden (beachte, dass man statt $f$ und $g$ aussagekräftigere Bezeichnungen wählen sollte):

# Definition einer Funktion (entspricht f im Beispiel)
def abstand_koord(x1, y1, x2, y2):

    return ((x1 - x2) ** 2 + (y1 - y2) ** 2) ** 0.5
    
# Definition einer weiteren Funktion (entspricht g im Beispiel)
def abstand_punkte(punkt1, punkt2):

    x1, y1 = punkt1
    x2, y2 = punkt2
    return ((x1 - x2) ** 2 + (y1 - y2) ** 2) ** 0.5

# Aufruf bzw. Auswertung der Funktionen
print(abstand_koord(1, 1, 3, 2))
print(abstand_punkte((1, 1), (3, 2)))

# alternativ
punkt1 = (1, 1)
punkt2 = (3, 2)
print(abstand_punkte(punkt1, punkt2))
print(abstand_koord(punkt1, punkt2))  # Zeile führt zu Fehlermeldung!

2.23606797749979
2.23606797749979
2.23606797749979

---------------------------------------------------------------------------
TypeError                                 Traceback (most recent call last)
Cell In[1], line 21
     17 # alternativ
     18 punkt1 = (1, 1)
     19 punkt2 = (3, 2)
     20 print(abstand_punkte(punkt1, punkt2))
---> 21 print(abstand_koord(punkt1, punkt2))  # Zeile führt zu Fehlermeldung!

TypeError: abstand_koord() missing 2 required positional arguments: 'x2' and 'y2'

Beachte, dass punkt1 und punkt2 in der Definition der Funktion abstand_punkte lokale Variablen sind, im alternativen Aufruf weiter unten dann aber globale Variablen. Auch wenn diese Unterscheidung nicht zum Kernbereich dieser Veranstaltung gehört, sondern den Programmiergrundlagen zuzuordnen ist, sei zum besseren Verständnis die (kurze) Lektüre von Local versus Global Names empfohlen.

4.4.2Visualisierung¶

Funktionen werden gern grafisch dargestellt, da viele Eigenschaften (die wir später näher untersuchen werden) leicht aus grafischen Darstellungen abgelesen werden können. Unter Nutzung des Computers sind auch komplexere, insbesondere dreidimensionale Visualierungen möglich. Visualisiert wird der Graph der Funktion, also eine Menge von Punkten in einem Koordinatensystem.

Für zweidimensionale Darstellungen eignet sich das Python-Paket Matplotlib sehr gut. Für dreidimensionale Darstellungen gibt es eine Erweiterung für Matplotlib (mpl_toolkits.mplot3d), jedoch bietet Plotly mehr Möglichkeiten.

Beispiel (einfacher 2D-Plot)

Funktionen, die einer reellen Zahl wieder eine reelle Zahl zuordnen, können in einem einfachen zweidimensionalen Plot dargestellt werden. Visualisieren die Funktion

f:\bbR\to\bbR,\quad f(x)=x^2.

(3)

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-2, 2, 100)  # Intervall und Stützstellenanzahl für x
y = x ** 2  # Funktionswerte an den Stützstellen

fig, ax = plt.subplots()  # Zeichenfläche erstellen
ax.plot(x, y)  # Linie für Funktionsverlauf hinzufügen
ax.set_xlabel('x')  # Beschriftung x-Achse
ax.set_ylabel('y')  # Beschriftung y-Achse
plt.show()  # Zeichenfläche anzeigen

Beachte, dass die Darstellung am Computer praktisch immer durch Auswerten der Funktion an endlich vielen Stützstellen (d.h. Werten für $x$ ) erfolgt. Die entstehenden Punkte werden dann durch Geradenstücke verbunden. Ist die Stützstellenanzahl zu gering gewählt, kann die grafische Darstellung stark vom tatsächlichen Funktionsverlauf abweichen.

Beispiel (Kurve in der Ebene)

Die Position eines beweglichen Objekts in der Ebene kann durch eine Funktion der Form $t\mapsto(x(t),y(t))$ beschrieben werden. Dabei sind $x$ und $y$ Funktionen von $\bbR$ nach $\bbR$ . Jedem Zeitpunkt $t$ wird also eine Position $(x(t),y(t))$ zugeordnet. Funktionen dieser Form nennt man auch Kurven in der Ebene. Betrachten hier konkret

x(t):=t-0.4\,t^2,\quad y(t)=t^4,\quad t\in[0,2].

(4)

Zwei Varianten für die Visualisierung von Kurven sind gebräuchlich: die Darstellung in der Ebene (ohne Zeitbezug) und die Darstellung im Raum (mit Zeitbezug).

t = np.linspace(0, 2, 100)
x = t - 0.4 * t ** 2
y = t ** 4

fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(x, y)
ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('y')
plt.show()

import plotly.graph_objects as go

t = np.linspace(0, 2, 100)
x = t - 0.4 * t ** 2
y = t ** 4

fig = go.Figure()
fig.add_trace(
    go.Scatter3d(x=t, y=x, z=y, mode='lines', line_width=5)
)
fig.update_layout(
    scene_xaxis_title_text='t',
    scene_yaxis_title_text='x',
    scene_zaxis_title_text='y',
    margin=dict(l=0, r=0, b=0, t=0)  # breiten Rand vermeiden
)
fig.show()

Beispiel (Kurven im Raum)

Die Position eines beweglichen Objekts im Raum kann durch eine Funktion der Form $t\mapsto(x(t),y(t),z(t))$ beschrieben werden. Dabei sind $x$ , $y$ und $z$ Funktionen von $\bbR$ nach $\bbR$ . Jedem Zeitpunkt $t$ wird also eine Position $(x(t),y(t),z(t))$ zugeordnet. Funktionen dieser Form nennt man auch Kurven im Raum. Betrachten hier konkret

x(t):=t-0.4\,t^2,\quad y(t)=t^4,\quad z(t)=t^2 - 0.5\,t^3,\quad t\in[0,2].

(5)

Die Darstellung kann als 3D-Plot erfolgen, wobei der Zeitbezug verloren geht (analog zum 2D-Plot bei Kurven in der Ebene).

t = np.linspace(0, 2, 100)
x = t - 0.4 * t ** 2
y = t ** 4
z = t ** 2 - 0.5 * t ** 3

fig = go.Figure()
fig.add_trace(
    go.Scatter3d(x=x, y=y, z=z, mode='lines', line_width=5)
)
fig.update_layout(
    scene_xaxis_title_text='x',
    scene_yaxis_title_text='y',
    scene_zaxis_title_text='z',
    margin=dict(l=0, r=0, b=0, t=0)  # breiten Rand vermeiden
)
fig.show()

Beispiel (Funktionen von zwei Veränderlichen)

Funktionen, die jedem Punkt in der Ebene eine Zahl zuordnen, können wahlweise als farbiger 2D-Plot oder als 3D-Plot dargestellt werden. Visualisieren hier als Beispiel

f:[0,3]\times[0.2]\to\bbR,\quad f(x,y)=(x^2-0.5\,x^3)\,(y-0.4\,y^2).

(6)

Bei der zweidimensionalen Darstellung werden die verschiedenen Funktionswerte durch Farben symbolisiert.

x, y = np.meshgrid(
    np.linspace(0, 3, 30),  # Stützstellenanzahl nicht zu hoch (Rechenzeit!)
    np.linspace(0, 2, 20)
)
# x und y sind 2D-Arrays, die für jeden Gitterpunkt die x- bzw. die
# y-Koordinate enthalten
f = (x ** 2 - 0.5 * x ** 3) * (y - 0.4 * y ** 2)

fig, ax = plt.subplots()
cont_plot = ax.contourf(
    x, y, f,
    levels=100,  # Anzahl der Farbabstufungen
    cmap='jet'  # Auswahl des Farbskala
)
plt.colorbar(cont_plot, label='f(x,y)')  # Zuordnung der Farben anzeigen
ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('y')
plt.show()

x, y = np.meshgrid(
    np.linspace(0, 3, 30),
    np.linspace(0, 2, 20)
)
f = (x ** 2 - 0.5 * x ** 3) * (y - 0.4 * y ** 2)

fig = go.Figure()
fig.add_trace(
    go.Surface(x=x, y=y, z=f, colorscale='Jet', showscale=False)
)
fig.update_layout(
    scene_xaxis_title_text='x',
    scene_yaxis_title_text='y',
    scene_zaxis_title_text='f(x,y)',
    margin=dict(l=0, r=0, b=0, t=0)  # breiten Rand vermeiden
)
fig.show()

Bei der Visualisierung von Funktionen zweier Veränderlicher ist zu beachten, dass die Anzahl der Stützstellen nicht zu hoch gewählt wird. Wählt man beispielsweise in beiden Variablen je 100 Stützstellen, so entsteht ein zweidimensionales Gitter aus 10000 Punkten. Die Funktion wird also für die Visualisierung an diesen 10000 Stellen ausgewertet. Insbesondere die 3D-Darstellung von über 10000 Einzelobjekten, aus denen die Grafik im Webbrowser dann zusammengesetzt wird, kann den Webbrowser an seine Leistungsgrenzen bringen.

Die Möglichkeiten der Visualisierung sind nahezu grenzenlos. Wichtig ist, dass beim Betrachten einer Visualisierung einer Funktion stets geklärt wird, was eigentlich dargestellt ist! Dass die grafische Darstellung nicht nur auf zahlenwertige Funktionen beschränkt ist, zeigt das nächste Beispiel.

Beispiel (Vektorfelder)

Strömungen in der Ebene können als Funktionen beschrieben werden, die jedem Punkt in der Ebene einen Vektor zuordnen. Die Richtung des Vektors gibt dabei die Richtung der Strömung an; die Länge des Vektors beschreibt die Geschwindigkeit der Strömung in dem Punkt. Die Visualisierung solcher Strömungen kann in einem 2D-Plot erfolgen, indem an einigen Punkten der Ebene die Strömungsvektoren eingezeichnet werden. Dabei wird zugunsten der besseren Übersichtlichtkeit die Länge der Vektoren so skaliert, dass sie nicht überlappen. Dargestellt ist also nicht die tatsächliche Länge der Strömungsvektoren, sondern nur die relative Länge zueinander. Als Beispiel visualisieren wir die durch

f(x,y)=\begin{bmatrix}1\\x\,y\end{bmatrix},\quad x\in[-3,3],\quad y\in[-2,2]

(7)

beschriebene Strömung. Der Umgang mit Vektoren wird später in der Veranstaltung genauer thematisiert.

# Gitterpunkte, an denen Strömungsvektoren dargestellt werden sollen
x, y = np.meshgrid(
    np.linspace(-3, 3, 15),
    np.linspace(-2, 2, 15)
)

# Strömungsvektoren
u = np.ones_like(x)  # Array mit Einsen in der Form wie das Array x
v = x * y

# Plot
fig, ax = plt.subplots()
ax.quiver(
    x, y, u, v,
    pivot='middle',  # Pfeilmitte an Gitterpunkt (nicht Pfeilanfang)
    angles='xy'  # Richtung der Pfeile folgt Verzerrung der Grafik
)
ax.set_aspect('equal', 'box')  # gleiche Einheiten an beiden Achsen
ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('y')
plt.show()

Beispiel (ungünstige Visualisierung)

Die Funktion

f:\bbR\setminus\{1000\}\to\bbR,\quad f(x)=\frac{1}{(x-1000)^{10}}

(8)

hat eine Polstelle bei $x=1000$ . Je nach Visualisierung ist diese sichtbar oder auch nicht.

Brauchbare Visualisierung:

x = np.linspace(997, 1003, 100)
y = 1 / (x - 1000) ** 10

fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(x, y)
ax.set_ylim(0, 10000)  # y-Achse oben abschneiden
ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('y')
plt.show()

Unbrauchbare Visualisierung (Polstelle nicht als solche erkennbar; beachte, dass die dargestellten $y$ -Werte alle praktisch Null sind):

x = np.linspace(0, 2000, 100)
y = 1 / (x - 1000) ** 10

fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(x, y)
ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('y')
plt.show()

Unbrauchbare Visualisierung (Polstelle nicht im dargestellten Bereich):

x = np.linspace(0, 1, 100)
y = 1 / (x - 1000) ** 10

fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(x, y)
ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('y')
plt.show()

4.4.3Einfache Eigenschaften¶

Betrachten einige Eigenschaften von Funktionen, deren Vorhandensein gelegentlich vorteilhaft ausgenutzt werden kann.

4.4.3.1Monotonie und Umkehrfunktion¶

Die Monotonie von Funktionen spielt vor allem bei zwei Tätigkeiten eine Rolle: dem Lösen von Gleichungen und dem Umformen von Ungleichungen.

Soll eine Gleichung der Form

f(x)=y

(9)

für gegebenes $y\in\bbR$ gelöst werden und weiß man, dass die Funktion im Suchbereich für $x$ (das kann z.B. ein Intervall oder ganz $\bbR$ sein) streng monoton ist, so kann man die Umkehrfunktion $f^{-1}$ bilden und damit die Lösung direkt berechnen:

x=f^{-1}(y).

(10)

Für nicht streng monotone Funktionen ist die Sache schwieriger, da dann mehrere Lösungen existieren können, die nicht über die (dann nicht existierende) Umkehrfunktion berechnet werden können. Dieser Aspekt ist sowohl beim manuellen Rechnen als auch beim Lösen von Gleichungen mit dem Computer relevant.

Gelegentlich möchte/muss man Ungleichungen umformen. Dabei ist zu beachten, dass manche Umformschritte, die bei Gleichungen zu einer äquivalenten Gleichung führen, bei Ungleichungen nur mit Vorsicht zu nutzen sind. Beispielsweise muss bei der Multiplikation beider Seiten der Ungleichung mit einer negativen Zahl das Relationszeichen “gedreht” werden (aus $\leq$ wird $\geq$ und umgekehrt; analog für strenge Ungleichheit). Allgemein gilt:

Beispiel

Wir möchten die Ungleichung

\frac{-2}{x}\leq 4

(12)

nach $x$ umstellen, d.h. durch äquivalente Umformungen auf die Form $x\leq\ldots$ oder $x\geq\ldots$ bringen. Alle Umformschritte können wir als Anwenden geeigneter Funktionen auf beide Seiten der Ungleichung formulieren:

Wir wenden die Funktion $u\mapsto-\frac{1}{2}\,u$ auf beide Seiten an. Diese Funktion ist streng monoton fallend, also muss das Relationszeichen gedreht werden:
$\frac{1}{x}\geq-\frac{1}{2}\cdot 4.$
(13)
Bilden nun auf beiden Seiten das Reziproke, d.h. wir wenden die Funktion $u\mapsto\frac{1}{u}$ auf beide Seiten an. Dies ist ebenfalls eine streng monoton fallende Funktion. Also muss das Relationszeichen nochmal gedreht werden:
$x\leq\frac{1}{-\frac{1}{2}\cdot 4}.$
(14)

Erhalten also die äquivalent umgeformte Ungleichung

x\leq-\frac{1}{2}.

(15)

Für weitere Beispiele und Erläuterungen zur Monotonie von Funktionen sei auf das entsprechende OMB+-Kapitel verwiesen.

4.4.3.2Periodizität¶

Ist $T$ eine Periode einer Funktion, so genügt die Betrachtung der Funktion auf dem Intervall $[0,T)$ . Auf dem Rest der reellen Achse ist das Verhalten der Funktion vollständig durch ihr Verhalten auf diesem Intervall bestimmt.

Wichtige periodische Funktionen sind die Sinus- und die Cosinus-Funktion (siehe unten) sowie darauf basierende komplexere Funktionen.

4.4.3.3Beschränktheit¶

4.4.3.4Nullstellen¶

Nebenbemerkung

Beachte, dass wir in dieser Veranstaltung keine besondere Symbolik für die Unterscheidung von Zahlen und Punkten bzw. Vektoren verwenden. In der Ingenieurliteratur sieht man gelegentlich Unterstreichungen $\underline{x}$ bzw. $\underline{0}$ oder aufgesetzte Pfeile $\overrightarrow{x}$ bzw. $\overrightarrow{0}$ oder Fettsetzungen $\mathbf{x}$ bzw. $\mathbf{0}$ für Vektoren. Diese führen jedoch an einigen Stellen zu Komplikationen und machen komplexe Formeln unübersichtlicher. Da ohnehin beim Betrachten eines mathematischen Ausdrucks stets im Detail zu klären ist, welches Symbol welche Bedeutung hat, ergibt sich die Antwort auf die Frage “Zahl oder Punkt/Vektor?” gleich mit.

In der obigen Definition des Begriffs Nullstelle steht die 0 also für den Nullvektor (sofern $m>1$ ) und auch $x$ ist ein Punkt/Vektor, wenn $n>1$ .

Die Frage nach den Nullstellen einer Funktion ist eng verknüpft mit dem Lösen von Gleichungen

f(x)=y,

(18)

wobei $y\in\bbR^m$ gegeben und $x\in\bbR^n$ gesucht ist. Solche Gleichungen kann man als

g(x)=0

(19)

schreiben, wenn man $g(x):=f(x)-y$ setzt. Beim Lösen von Gleichungen mit dem Computer stehen oft nur Funktionen für die Nullstellenbestimmung zur Verfügung, sodass Gleichungen, wie eben gezeigt, entsprechend umgeformt werden müssen.

Nullstellen von Funktionen können beispielsweise mit scipy.optimize.fsolve aus dem Python-Paket SciPy numerisch berechnet werden. Beachte, dass stets nur eine Nullstelle geliefert wird, auch wenn es mehrere gibt. Welche Nullstelle man erhält, kann man durch Vorgabe einer groben Schätzung der Nullstelle steuern.

Beispiel

Zum Lösen der Gleichung

x^2+x+1=\frac{3}{2}

(20)

können wir folgenden Python-Code verwenden:

import scipy.optimize as so

def f(x):
    return x ** 2 + x + 1 - 3 / 2
    
print(so.fsolve(f, 1))
print(so.fsolve(f, -1))

[0.3660254]
[-1.3660254]

Die Anzahl der Lösungen und geeignete Näherungswerte (hier 1 und -1) sind nicht immer klar ersichtlich. Deshalb birgt das numerische Lösen von Gleichungen stets das Risiko, dass man nicht alle Lösungen findet!

Beachte, dass fsolve auch zum Lösen von (nichtlinearen) Gleichungssystemen verwendet werden kann. Dies entspricht dem Fall $m>1$ und $n>1$ in der obigen Definition des Begriffs Nullstelle.

Das symbolische Lösen von Gleichungen ist mit SymPy möglich. Für das obige Beispiel:

import sympy

x = sympy.symbols('x')

sympy.solve(x ** 2 + x + 1 - sympy.Rational(3, 2), x)

[-1/2 + sqrt(3)/2, -sqrt(3)/2 - 1/2]

Beim symbolischen Rechnen erhält man üblicherweise alle Lösungen. Jedoch werden nicht immer Lösungen gefunden, obwohl sie existieren. Beim numerischen Rechnen hingegen erhält man praktisch immer wenigstens eine Lösung (sofern eine existiert).

4.4.4Grenzwerte¶

Die Betrachtung von Grenzwerten bei Funktionen spielt eine zentrale Rolle in der Mathematik und ihren Anwendungen. So basiert z.B. der in Physik und anderen (Natur-)Wissenschaften ganz grundlegende Begriff der Differenzierbarkeit einer Funktion auf der Betrachtung gewisser Grenzwerte.

Grenzwerte bei Funktionen sind sehr ähnlich zu Grenzwerten bei Zahlenfolgen, jedoch gibt es unterschiede im Detail, denn der kontinuierliche Charakter der reellen Zahlen erlaubt auch andere Grenzübergänge als nur “ $\to\infty$ ”.

Nicht jede Funktion hat Grenzwerte im Unendlichen. Beispielsweise existieren die beiden Grenzwerte nicht für (nicht konstante) periodische Funktionen. Auch können die Grenzwerte $\infty$ oder $-\infty$ sein; in diesem Fall sagt man ebenfalls, dass die Grenzwerte nicht (als Zahl) existieren.

Merke (Grenzwerte an einer Stelle)

Sei $f:D\to\bbR$ mit $D\subseteq\bbR$ eine Funktion. Eine Zahl $g\in\bbR$ heißt Grenzwert der Funktion $f$ bei Annäherung an die Stelle $x_0\in\bbR$ , wenn für jede Zahlenfolge $(x_n)_{n\in\bbN}$ in $D$ mit $\lim_{n\to\infty}x_n=x_0$ die zugehörige Folge $(f(x_n))_{n\in\bbN}$ der Funktionswerte gegen $g$ konvergiert. Man schreibt dann

\lim_{x\to x_0}f(x)=g.

(22)

Betrachtet man nur Folgen $(x_n)_{n\in\bbN}$ mit $x_n\leq x_0$ für alle $n\in\bbN$ , so spricht man vom linksseitigen Grenzwert und schreibt

\lim_{x\to x_0-0}f(x)=g.

(23)

Betrachtet man nur Folgen $(x_n)_{n\in\bbN}$ mit $x_n\geq x_0$ für alle $n\in\bbN$ , so spricht man vom rechtsseitigen Grenzwert und schreibt

\lim_{x\to x_0+0}f(x)=g.

(24)

Man kann zeigen, dass der (beidseitige) Grenzwert genau dann existiert, wenn links- und rechtsseitiger Grenzwert existieren und übereinstimmen.

Ein relativ häufiges Phänomen sind Funktionen mit Polstellen. Für eine Funktion $f:[a,b]\setminus\{u\}\to\bbR$ heißt $u$ Polstelle, wenn die einseitigen Grenzwerte bei Annäherung an diese Stelle nur im Sinne von $\pm\infty$ existieren. Da Funktionen in der Praxis fast immer Messgrößen (Temperatur, Länge, Druck, Kosten,...) beschreiben, erscheinen Polstellen eher unnatürlich und deren Auftreten entsprechend unwahrscheinlich. Sie sind jedoch ein wichtiges Modellierungswerkzeug!

Beispiel (Massepunkt)

In der Physik vereinfacht man räumlich ausgedehnte Objekte gern zu Punkten im Raum. So betrachtet man bei der Berechnung von Flugbahnen nur selten die Masseverteilung des sich bewegenden Objekts im Raum, sondern modelliert das Objekt als “Massepunkt”, also als einen einzigen Punkt im Raum mit einer gegebenen Masse. Analog verfährt man beispielsweise mit Ladungen in der Elektrotechnik (“Punktladung”).

Die Anziehungskraft, die ein als Massepunkt modellierter Himmelskörper (z.B. Erde) auf andere Objekte (z.B. Satelliten) ausübt, kann durch sein Gravitationsfeld beschrieben werden. Die Anziehungskraft ist immer zum Massepunkt hin gerichtet. Der Betrag der Kraft hängt von der Entfernung zum Massepunkt ab und kann somit als Funktion $F:(0,\infty)\to\bbR$ ausgedrückt werden:

F(r)=\frac{G\,M}{r^2}.

(25)

Dabei sind $G>0$ die Gravitationskonstante und $M>0$ die Masse des Himmelskörpers. Die Funktion $F$ hat eine Polstelle bei $r=0$ .

Natürlich wirkt in der Nähe des Erdmittelpunktes (genauer: Massenschwerpunktes der Erde) keine beliebig hohe Gravitationskraft. Sondern die Polstelle ist ein Resultat der vereinfachten Modellierung der Erde als Massepunkt. In der Nähe des Erdmittelpunkts ist das gewählte Modell zur Beschreibung der wirkenden Kräfte ungeeignet (vgl. auch Newtonsches Kugelschalentheorem).

Der Begriff des Grenzwerts spielt auch bei Funktionen mehrerer Veränderlicher eine Rolle. Dann ist jedoch nur der (allseitige) Grenzwert bei Annäherung an eine Stelle $x_0\in\bbR^n$ sinnvoll einführbar. Die dazu benötigte Konvergenz einer Punktfolge $(x_k)_{k\in\bbN}$ in $\bbR^n$ gegen $x_0$ ist gleichbedeutend mit der Konvergenz jeder einzelnen Koordinatenfolge (vgl. auch Aufgabe 3.6(c) in Übung 3). Schreiben wir jeden Punkt $x_k$ als

x_k=(x_k^{(1)},\ldots,x_k^{(n)})\in\bbR^n,

(26)

so bedeutet $\lim_{k\to\infty}x_k=x_0$ also, dass

\lim_{k\to\infty}x_k^{(l)}=x_0^{(l)}

(27)

für jedes $l\in\{1,\ldots,n\}$ gilt.

Umganssprachlich formuliert bedeutet dies, dass völlig unabhängig davon wie man sich der Stelle $x_0$ annähert, das Verhalten der Funktionswerte immer gleich ist. Hier ein Gegenbeispiel:

Beispiel

Für die Funktion

f:\bbR^2\setminus\{(0,0)\}\to\bbR,\quad f(x,y):=\frac{x\,y}{x^2+y^2}

(29)

existiert in $(0,0)$ kein Grenzwert (Video 450, Notizen dazu).

x, y = np.meshgrid(
    np.linspace(-1, 1, 50),
    np.linspace(-1, 1, 50)
)
f = x * y / (x ** 2 + y ** 2)

fig = go.Figure()
fig.add_trace(
    go.Surface(x=x, y=y, z=f, colorscale='Jet', showscale=False)
)
fig.update_layout(
    scene_xaxis_title_text='x',
    scene_yaxis_title_text='y',
    scene_zaxis_title_text='f(x,y)',
    margin=dict(l=0, r=0, b=0, t=0),  # breiten Rand vermeiden
    scene_camera_eye=dict(x=0,y=-1.5,z=1.5)  # Kameraposition anpassen
)
fig.show()

Beachte, dass die grafische Darstellung in der Nähe von $(0,0)$ fehlerhaft ist! Ursache ist das Auswerten der Funktion an nur endlich vielen Stellen.

4.4.5Stetigkeit¶

Stetigkeit einer Funktion $f:\bbR\to\bbR$ bedeutet anschaulich, dass man den Graph der Funktion ohne Absetzen mit einem Stift zeichnen kann, der Graph also beispielsweise keine Sprünge aufweist. Unbedingt zu beachten ist, dass Stetigkeit nur Aussagen zum Verhalten der Funktion in ihrem Definitionsbereich macht. Der Definitionsbereich selbst kann aber beispielsweise Lücken haben.

Unstetigkeitsstellen bei Funktionen einer reellen Veränderlichen sind im Wesentlichen entweder Polstellen (vgl. Funktion $g$ im Beispiel) oder Sprungstellen (links- und rechtsseitige Grenzwerte existieren, stimmen aber nicht beide mit dem Funktionswert überein). Für Funktionen mehrerer Veränderlicher ist die Klassifikation von Unstetigkeitsstellen nicht mehr so einfach machbar.

Der Begriff der Stetigkeit ist innerhalb der Mathematik von enormer Bedeutung, wird aber bei der täglich Arbeit im Kontext von Anwendungsproblemen nur am Rande direkt benötigt. Die Wichtigkeit des Begriffs resultiert aus der Tatsache, dass bei stetigen Funktionen der Funktionswert an einer Stelle auch Informationen über die Funktionswerte an benachbarten Stellen liefert. Insbesondere mit Blick auf den Computereinsatz, bei dem Funktionen stets nur an endlich vielen Stellen ausgewertet werden können, ist Stetigkeit eine Art Minimalforderung, um eine Chance auf brauchbare Resultate zu haben. Beispiele für das Auftreten des Stetigkeitsbegriffs in anwendungsbezogenen Situationen:

Viele mathematische Aussagen gelten nur, wenn die beteiligten Funktionen stetig sind. So ist Stetigkeit beispielsweise eine wichtige Voraussetzung (aber nicht die einzige!) für die Existenz von Lösungen zu Optimierungsproblemen. Bei der mathematischen Modellierung von praktischen Fragestellungen ist deshalb darauf zu achten, dass die in einem Modell auftretenden Funktionen möglichst stetig sind.
Beim Rechnen mit Computer oder Taschenrechner oder auch beim manuellen Rechnen mit gemessenen und somit fehlerbehafteten Werten werden die Berechnungen stets mit gerundeten Werten durchgeführt. Das Ausführen von Berechnungen kann man als Auswerten einer geeigneten Funktion an einer Stelle interpretieren. Die Stetigkeit einer solchen Funktion garantiert, dass die Funktionswerte an den gerundeten Stellen nicht zu sehr von den Funktionswerten an den (unbekannten) exakten Stellen abweichen. Wie groß die Rundungsfehler sein dürfen, damit die Abweichungen in den Funktionswerten nicht zu groß werden, ist eine wichtige Frage. Dieser werden wir später nachgehen, wenn wir die geeigneten mathematischen Werkzeuge zur Beantwortung zur Verfügung haben.
Fotografische Bilddaten werden heute praktisch immer in stark komprimierter Form gespeichert. Welche Kompressionsverfahren in Frage kommen und wie stark ein Bild ohne größere Qualitätsverluste komprimiert werden kann, hängt auch an den Stetigkeitseigenschaften des kontinuierlichen (d.h. nicht in Pixel zerlegten) Bildes. Für den heute üblichen JPEG-Standard zur Bilddatenkompression kann man grob formulieren: je “stetiger” das Bild, desto stärker kann ohne nennenswerte Qualitätsverluste komprimiert werden.

4.4.6Beispiele elementarer Funktionen¶

Elementare Funktionen und ihre Eigenschaften wurden im Rahmen der Schulmathematik behandelt. Deshalb verweisen wir zur Wiederholung auf das entsprechenden Kapitel von OMB+ und gehen hier nur auf einzelne Beispiele und Aspekte nochmal genauer ein:

4.4.6.1Polynome¶

Funktionen $f:\bbR\to\bbR$ der Form

f(x)=a_n\,x^n+a_{n-1}\,x^{n-1}+\cdots+a_2\,x^2+a_1\,x+a_0

(33)

heißen Polynom. Dabei ist die gegebene Zahl $n\in\bbN$ der Grad des Polynoms und die gegebenen $n+1$ Zahlen $a_0,a_1,\ldots,a_n\in\bbR$ sind die Koeffizienten des Polynoms.

Jedes Polynom hat höchstens $n$ Nullstellen. Jeder Polynomnullstelle kann eine sogenannte Vielfachheit zugeordnet werden: Die Polynomnullstelle $x_0$ hat die Vielfachheit $k\in\bbN$ , wenn man das Polynom in der Form

f(x)=(x-x_0)^k\,(\text{Polynom vom Grad $n-k$})

(34)

schreiben kann und $k$ die größte Zahl ist, die eine solche Darstellung erlaubt. Der Faktor $x-x_0$ wird auch als Linearfaktor bezeichnet. Sind $x_1,\ldots,x_m$ die Nullstellen des Polynoms $f$ und $k_1,\ldots,k_m$ die zugehörigen Vielfachheiten, so gilt

f(x)=(x-x_1)^{k_1}\cdots(x-x_m)^{k_m}\,(\text{Polynom ohne Nullstellen}).

(35)

4.4.6.2Lineare Funktionen mehrerer Veränderlicher¶

Funktionen $f:\bbR^n\to\bbR$ der Form

f(x_1,\ldots,x_n)=a_1\,x_1+\cdots+a_n\,x_n

(36)

heißen linear. Dabei sind $a_1,\ldots,a_n\in\bbR$ gegebene Zahlen.

Für $n=2$ ist der Graph einer linearen Funktion stets eine Ebene in $\bbR^3$ . Für $n>2$ bezeichnet man die Graphen linearer Funktionen als Hyperebenen (in $\bbR^{n+1}$ ).

Lineare Funktionen werden aufgrund ihrer einfachen Struktur gern als näherungsweiser Ersatz für kompliziertere Funktionen verwendet.

4.4.6.3Trigonometrische Funktionen¶

Häufig benötigte Zahlen, deren direkte Erklärung zu viel Zeit benötigt, bekommen in der Mathematik üblicherweise einen Name. So benötigt man zu einem gegebenen Winkel z.B. sehr oft die Zahlen, die wir als Cosinus und Sinus des Winkels kennen. Cosinus und Sinus eines Winkels sind gerade die $x$ - bzw. $y$ -Koordinate des Punktes, der entsteht indem man die Entfernung 1 vom Koordinatenursprung aus entlang eines Strahls mit Winkel $\varphi$ zur (positiven) $x$ -Achse zurücklegt.

Einheitskreis mit Cosinus und Sinus — Cosinus und Sinus geben die $x$ - und die $y$ -Koordinate eines Punktes auf dem Einheitskreis in Abhängigkeit des Winkels $\varphi$ zwischen dem Strahl vom Ursprung durch den Punkt und der $x$ -Achse an.

Beträgt die Entfernung des Punktes nicht 1, sondern allgemeiner $r>0$ , so ergeben sich die Koordinaten als

{\begin{align} x=r\,\cos\varphi,\\ y=r\,\sin\varphi. \end{align}}

(37)

Die Darstellung eines Punktes in der Ebene durch Abstand $r>0$ zum Ursprung und Winkel $\varphi\in[0,2\,\pi)$ zur $x$ -Achse bezeichnet man als Polarkoordinaten-Darstellung des Punktes. Sie wird insbesondere in der Physik gern verwendet (Drehbewegungen und andere periodische Vorgänge), spielt aber beispielsweise auch in der Geodatenverarbeitung eine Rolle (diverse Kartenprojektionen, z.B. Azimuthalprojektionen).

Offensichtlich gilt stets

(\sin\varphi)^2+(\cos\varphi)^2=1

(38)

(trigonometische Form des Satzes des Pythagoras).

Auf Basis von Cosinus und Sinus definiert man noch den Tangens

\tan\varphi:=\frac{\sin\varphi}{\cos\varphi}

(39)

und den Cotangens

\cot\varphi:=\frac{\cos \varphi}{\sin\varphi}.

(40)

Einheitskreis mit Tangens und Cotangens — Tangens und Cotangens sind gerade der Anstieg des Strahls durch Ursprung und Punkt bzw. das Reziproke des Anstiegs.

Sinus und Cosinus können auch für Winkel außerhalb von $[0,2\,\pi)$ bestimmt werden, indem der fragliche Winkel durch Verschiebung um Vielfache von $2\,\pi$ in den Bereich $[0,2\,\pi)$ gebracht wird. Die so entstehende Sinusfunktion und die Cosinusfunktion sind auf ganz $\bbR$ definiert und haben beide den Wertebereich $[-1,1]$ .

Sinusfunktion und Cosinusfunktion sind nicht monoton auf $[0,2\,\pi)$ . Auf geeigneten Teilintervallen sind sie jedoch streng monoton, sodass dort eine Umkehrfunktion existiert. Mit $\arcsin$ bezeichnet man die Umkehrfunktion der Sinusfunktion auf dem Intervall $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ . Die Umkehrfunktion der Cosinusfunktion auf dem Intervall $[0,\pi]$ wird als $\arccos$ bezeichnet. Für den Tangens wiederum existiert eine Umkehrfunktion auf $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ , die mit $\arctan$ bezeichnet wird. Eine Umkehrfunktion des Cotangens kann analog eingeführt werden, spielt aber nur sehr selten eine Rolle.

4.4.6.4Exponentialfunktion¶

Die Funktion

f:\bbR\to\bbR,\quad f(x):=\rme^x

(41)

mit der Euler’schen Zahl $\rme\approx2.718$ wird als Exponentialfunktion bezeichnet. Sie taucht (meist unerwartet) in ganz vielen Situationen in praktisch allen Teilbereichen der Mathematik auf. Wir werden ihr insbesondere bei der Differentialrechnung und bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung begegnen.

Die Exponentialfunktion ist streng monoton wachsend und besitzt somit eine Umkehrfunktion. Diese wird als (natürliche) Logarithmusfunktion bezeichnet und mit dem Symbol $\ln$ abgekürzt. Es gilt also stets

\ln(\rme^x)=x\quad\text{für }x\in\bbR\qquad\text{und}\qquad\rme^{\ln x}=x\quad\text{für }x>0.

(42)

Nebenbemerkung (Beziehung zu Sinus und Cosinus)

Die Exponentialfunktion kann als Polynom mit “unendlichem Grad” angesehen werden: Zu $x\in\bbR$ und $n\in\bbN$ können wir das Polynom

P_n(x):=\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}\,x^k

(43)

vom Grad $n$ bilden. Dabei ist

n!:=1\cdot 2\cdots n

(44)

das Produkt der Zahlen 1 bis $n$ (sprich: “ $n$ Fakultät”), wobei $0!:=1$ gesetzt wird, und $\sum$ ist ein Symbol zur kurzen Schreibweise für lange Summen:

\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}\,x^k:=\frac{1}{0!}\,x^0+\frac{1}{1!}\,x^1+\cdots+\frac{1}{n!}\,x^n.

(45)

Man kann nun zeigen (tun wir hier nicht), dass

\lim_{n\to\infty}P_n(x)=\rme^x

(46)

gilt, die Polynome für festes $x\in\bbR$ bei fortwährender Erhöhung des Grades also gegen die Exponentialfunktion konvergieren.

In diesem Kontext wird auch eine enge Beziehung zu Sinus- und Cosinusfunktion sichtbar. Entfernt man alle ungeraden $x$ -Potenzen und wechselt das Vorzeichen vor den geraden Potenzen, so erhält man die Cosinusfunktion:

\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n(-1)^k\frac{1}{(2\,k)!}\,x^{2\,k}=\cos x.

(47)

Analog liefert das Weglassen der geraden Potenzen die Sinusfunktion:

\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n(-1)^k\frac{1}{(2\,k+1)!}\,x^{2\,k+1}=\sin x.

(48)

Ohne Verzeichnwechsel erhält man die beiden als Cosinus hyperbolicus und Sinus hyperbolicus bezeichneten Funktionen:

\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n\frac{1}{(2\,k)!}\,x^{2\,k}=\cosh x,

(49)

\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n\frac{1}{(2\,k+1)!}\,x^{2\,k+1}=\sinh x.

(50)

Für diese gilt dann

\rme^x=\cosh x+\sinh x.

(51)

Cosinus hyperbolicus und Sinus hyperbolicus tauchen gelegentlich in Anwendungen auf. So zeigt beispielsweise ein locker zwischen zwei Punkten hängendes Seil gerade die Form des Graphs des Cosinus hyperbolicus (vgl. Kettenlinie).

4.4 Funktionen

4.4.1Sprachliche Aspekte¶

4.4.2Visualisierung¶

4.4.3Einfache Eigenschaften¶

4.4.3.1Monotonie und Umkehrfunktion¶

4.4.3.2Periodizität¶

4.4.3.3Beschränktheit¶

4.4.3.4Nullstellen¶

4.4.4Grenzwerte¶

4.4.5Stetigkeit¶

4.4.6Beispiele elementarer Funktionen¶

4.4.6.1Polynome¶

4.4.6.2Lineare Funktionen mehrerer Veränderlicher¶

4.4.6.3Trigonometrische Funktionen¶

4.4.6.4Exponentialfunktion¶