Fehlerrechnung - Mathematik I (i933)

Man steht sehr oft vor dem Problem, dass man eine interessierende Größe nicht direkt messen kann, sondern nur aus Berechnungen auf diese schließen kann. Ausgangspunkt für die nötigen Berechnungen sind gemessene Werte, die praktisch immer mit einem nur ungefähr bekannten Messfehler behaftet sind. Frage: Wie wirken sich solche Messfehler auf aus Messwerten berechnete Größen aus?

6.4.1Ziel¶

In obigem Beispiel ist der Zusammenhang von Messwert und berechnetem Wert sehr einfach und die Fehlerfortpflanzung beim Rechnen gut überschaubar. Wie aber bei komplexeren Zusammenhängen vorgehen? Wie wirkt sich beispielsweise die etwas ungenau gemessene Kantenlänge eines Würfels auf das daraus berechnete Volumen des Körpers aus?

Ziel dieses Kapitels ist die Entwicklung eines systematischen Vorgehens, welches uns praktisch verwertbare Aussagen über den zu erwartenden Fehler in einer aus Messwerten berechneten Größe liefert. Zunächst betrachten wir nur Größen, die von genau einem Messwert abhängen. Im zweiten Semester erweitern wir das Vorgehen auf von mehreren Messwerten abhängige Größen.

Es wird sich zeigen, dass die Differentialrechnung und insbesondere die Taylor-Polynome hier gute Dienste leisten.

6.4.2Formalisierung¶

Die Aufgabenstellung ist also folgende: Gegeben ist eine Funktion $f$ , die eine messtechnisch zugängliche Zahl $x_{\mathrm{exakt}}\in\bbR$ in den gesuchten Wert $f(x_{\mathrm{exakt}})$ überführt. Die praktische Messung liefert statt $x_{\mathrm{exakt}}$ allerdings nur $x_{\mathrm{mess}}$ . Entsprechend steht in der Praxis nur $f(x_{\mathrm{mess}})$ zur Verfügung statt $f(x_{\mathrm{exakt}})$ .

Der exakte Wert $x_{\mathrm{exakt}}$ ist üblicherweise nahe bei $x_{\mathrm{mess}}$ (sonst ist der Messprozess unbrauchbar), muss aber nicht mit $x_{\mathrm{mess}}$ übereinstimmen. Wir nehmen an, dass wir eine Fehlerschranke $\Delta_{\mathrm{max}}x\in\bbR$ kennen, d.h. wir wissen, dass

|x_{\mathrm{exakt}}-x_{\mathrm{mess}}|\leq\Delta_{\mathrm{max}}x

(1)

gilt. Daraus soll nun eine Aussage über die Größe des Fehlers

|f(x_{\mathrm{exakt}})-f(x_{\mathrm{mess}})|

(2)

abgeleitet werden. Da wir $f(x_{\mathrm{exakt}})$ nicht kennen, müssen wir vom schlechtesten Fall ausgehen, d.h. wir suchen nach der maximalen Abweichung $\Delta_{\mathrm{max}}f$ bzgl. aller im Rahmen des maximalen Messfehlers $\Delta_{\mathrm{max}}x$ denkbaren Werte $f(x_{\mathrm{exakt}})$ . In jedem Fall wird also

|f(x_{\mathrm{exakt}})-f(x_{\mathrm{mess}})|\leq\Delta_{\mathrm{max}}f

(3)

gelten.

Absolute Fehler schreibt man im Ingenieurwesen gern in der Form

f(x_{\mathrm{exakt}})=f(x_{\mathrm{mess}})\pm\Delta_{\mathrm{max}}f\quad\text{bzw.}\quad x_{\mathrm{exakt}}=x_{\mathrm{mess}}\pm\Delta_{\mathrm{max}}x,

(4)

meint damit aber stets, dass der exakte Wert höchstens (nicht genau!) um $\Delta_{\mathrm{max}}f$ bzw. $\Delta_{\mathrm{max}}x$ vom gemessenen Wert abweicht.

Relative Fehler gibt man gern in Prozent an, also beispielsweise 0.1 % statt 0.001.

6.4.3Vorgehen¶

Theoretisch könnte man den zu erwartenden Fehler als

\Delta_{\mathrm{max}}f=\max_{x\in X}|f(x)-f(x_{\mathrm{mess}})|

(5)

berechnen, wobei

X:=[x_{\mathrm{mess}}-\Delta_{\mathrm{max}}x,\,x_{\mathrm{exakt}}+\Delta_{\mathrm{max}}x]

(6)

das Intervall der infrage kommenden exakten Werte ist. Dieses Maximum ist jedoch (auch mit dem Computer!) nur sehr mühsam berechenbar und damit für den praktischen Einsatz untauglich. Ersetzen wir $f$ jedoch durch ein Taylor-Polynom, so wird die Sache handhabbar. Schon das Taylor-Polynom ersten Grades (Tangente) reicht in den meisten Fällen völlig aus. Als Entwicklungsstelle wählen wir natürlich $x_{\mathrm{mess}}$ , da dieser Wert einerseits ohnehin vorliegt und andererseits alle Betrachtungen in der nahen Umgebung dieser Stelle stattfinden, also dort, wo die Abweichung zwischen Funktion und dem so konstruierten Taylor-Polynom gering ist. Mit dem Restglied

R(\xi,x,x_{\mathrm{mess}}):=\frac{1}{2}\,f''(\xi)\,(x-x_{\mathrm{mess}})^2

(7)

erhalten wir

{\begin{align} \Delta_{\mathrm{max}}f&=\max_{x\in X}\,\bigl|f(x_{\mathrm{mess}})+f'(x_{\mathrm{mess}})\,(x-x_{\mathrm{mess}})+R(\xi,x,x_{\mathrm{mess}})-f(x_{\mathrm{mess}})\bigr|\\ &=\max_{x\in X}\,\bigl|f'(x_{\mathrm{mess}})\,(x-x_{\mathrm{mess}})+R(\xi,x,x_{\mathrm{mess}})\bigr|. \end{align}}

(8)

Da $\xi$ stets zwischen $x$ und $x_{\mathrm{mess}}$ liegt, können wir diesen Wert nach oben abschätzen:

{\begin{align} \Delta_{\mathrm{max}}f&\leq\max_{x\in X}\,\bigl|f'(x_{\mathrm{mess}})\,(x-x_{\mathrm{mess}})\bigr|+\max_{x\in X}\max_{\xi\in X}\,\bigl|R(\xi,x,x_{\mathrm{mess}})\bigr|\\ &=\bigl|f'(x_{\mathrm{mess}})\bigl|\,\max_{x\in X}\,|x-x_{\mathrm{mess}}|+\frac{1}{2}\,\left(\max_{\xi\in X}\,\bigl|f''(\xi)\bigr|\right)\,\max_{x\in X}\,|x-x_{\mathrm{mess}}|^2\\ &=\bigl|f'(x_{\mathrm{mess}})\bigl|\,\Delta_{\mathrm{max}}x+\frac{1}{2}\,\left(\max_{\xi\in X}\,\bigl|f''(\xi)\bigr|\right)\,\bigl(\Delta_{\mathrm{max}}x\bigr)^2. \end{align}}

(9)

Üblicherweise wird $\Delta_{\mathrm{max}}x$ klein sein, insbesondere viel kleiner als 1 (Schreibweise: $\Delta_{\mathrm{max}}x\ll 1$ ). Folglich wird $\bigl(\Delta_{\mathrm{max}}x\bigr)^2$ deutlich kleiner sein als $\Delta_{\mathrm{max}}x$ . Für $\Delta_{\mathrm{max}}x=0.01$ erhalten wir beispielsweise $\bigl(\Delta_{\mathrm{max}}x\bigr)^2=0.0001$ . Zum Zwecke der Beurteilung des zu erwartenden Fehlers genügt also die Betrachtung des ersten Summanden. Nur in wenigen Ausnahmefällen, z.B. wenn der Messfehler sehr groß ist oder wenn die Funktion $f$ stark gekrümmt ist (große zweite Ableitung!), ist der quadratische Fehleranteil relevant. In solch einem Fall können auch Taylor-Polynome zweiten Grades verwendet werden, damit man sich die aufwendige (und ggf. gar nicht machbare) Maximierung der zweiten Ableitung spart (man vernachlässigt dann den Term dritter Ordnung).

Beachte jedoch: Bei streng mathematischer Betrachtung gilt diese Abschätzung nicht!

Nebenbemerkung

Man könnte nun einwenden, dass durch die Wahl der Maßeinheiten das Erfüllen der Bedingung $\Delta_{\mathrm{max}}x\ll 1$ beeinflusst werden kann. Misst man beispielsweise eine Strecke $x$ in Meter und der maximale Messfehler beträgt $\Delta_{\mathrm{max}}=0.01$ Meter, so ist die Bedingung offensichtlich erfüllt. Misst man jedoch in Millimeter, so führt der gleiche Messfehler zu $\Delta_{\mathrm{max}}=10$ Millimeter, was deutlich über 1 liegt. In ersterem Fall wäre das Vernachlässigen des quadratischen Anteils in der Fehlerabschätzung okay; in zweiterem eher nicht, da dann $\bigl(\Delta_{\mathrm{max}}x\bigr)^2=100$ viel größer ist als $\Delta_{\mathrm{max}}x$ , also durchaus relevant ist. Allerdings ändert ein Wechsel der Einheiten auch die Funktion $f$ . Werden die Argumente von $f$ in Metern angegeben, so entspricht die Arbeit mit Millimetern der Funktion $x\mapsto f(0.001\,x)$ , sodass die zweite Ableitung zu $0.001^2\,f''(0.001\,x)$ wird (Kettenregel!). Somit ist das Maximum über die zweite Ableitung nun sehr klein, sodass der üblicherweise vernachlässigte zweite Summand in der Fehlerabschätzung dennoch klein und damit vernachlässigbar ist.

Die Forderung $\Delta_{\mathrm{max}}x\ll 1$ ist also nicht zwingend für das Vernachlässigen des zweiten Summands, sondern stellt lediglich eine einfache Regel für die praktische Arbeit dar. Ist diese nicht erfüllt, kann das Vernachlässigen des zweiten Summands dennoch zulässig sein. Dieser Fall sollte dann entsprechend geprüft werden.

6.4.4Beispiele¶

Der im zweiten Beispiel beobachtete Effekt, dass das Vernachlässigen des zweiten Summanden in der Fehlerabschätzung auch bei $\Delta_{\mathrm{max}}x>1$ hinnehmbar ist, ist nicht (!) allgemein gültig, sondern der konkreten Struktur der betrachteten Funktion geschuldet: Für wachsendes Argument bleibt die Krümmung (zweite Ableitung) konstant, während der Anstieg (erste Ableitung) wächst. Dadurch bleibt der zweite Summand in der Fehlerabschätzung vergleichsweise (!) klein, obwohl der große maximale Messfehler dort quadratisch eingeht.