Taylor-Polynome - Mathematik I (i933)

Als eine erste konkrete Anwendung der Differentialrechnung schauen wir uns hier die Annäherung von Funktionen durch Polynome an. Diese Technik hilft uns im nächsten Kapitel beim Verständnis der Fehlerrechnung. Weitere Anwendungen folgen im zweiten Semester.

6.3.1Bedeutung¶

Es gibt verschiedene Verfahren zum Ersetzen (nahezu) beliebiger Funktionen durch Polynome mit sehr ähnlichem Verlauf des Funktionsgraphs. Das einfachste ist die Konstruktion sogenannter Taylor-Polynome.

Während man früher durch den Übergang zu Polynomen die manuelle Rechenarbeit vereinfachen wollte, liegt die Bedeutung der Approximation (d.h. Annäherung) von Funktionen durch Polynome heute vor allem in der Verarbeitung von Funktionen mit dem Computer. Während allgemeine Funktionen (z.B. Sinus, Exponentialfunktion, Logarithmusfunktion,...) beim numerischen Rechnen mit dem Computer nur als Sammlung endlich vieler Funktionswerte an gegebenen Stützstellen darstellbar sind, also nie exakt und vollständig vorliegen, können Polynome auch mit dem Computer exakt und vollständig beschrieben werden. Wir erinnern uns: Ein Polynom

a_n\,x^n+a_{n-1}\,x^{n-1}+\cdots+a_2\,x^2+a_1\,x+a_0

(1)

vom Grad $n$ ist durch die $n+1$ Koeffizienten $a_0,a_1,\ldots,a_n$ beschrieben. Das sind endlich viele Zahlen und diese sind mit dem Computer (bis auf Rundungsfehler) darstellbar und verarbeitbar.

Wir werden Taylor-Polynome nur in sehr einfacher Form im nächsten Kapitel wiedersehen. Wann immer Sie jedoch mit dem Computer oder dem Taschenrechner beispielsweise den Sinus eines Winkels berechnen, werden im Hintergrund Taylor-Polynome (oder sehr ähnliche Techniken) verwendet.

6.3.2Konstruktion¶

Sei $f:(a,b)\to\bbR$ eine Funktion, wobei auch ein- und beidseitig unendliche Intervalle als Definitionsbereich zulässig seien, und sei $n$ eine gegebene natürliche Zahl. Gesucht ist ein Polynom $T_n:\bbR\to\bbR$ vom Grad $n$ , welches einen ähnlichen Verlauf zeigt wie die Funktion $f$ . Ein Polynom vom Grad $n$ besitzt $n+1$ Freiheitsgrade (d.h. frei wählbare Parameter). Wir können also davon ausgehen, dass wir $n+1$ Bedingungen formulieren können, welche den Verlauf des Polynoms $T_n$ festlegen. Zu einer gegebenen/gewählten Stelle $x_0\in(a,b)$ fordern wir

T_n(x_0)=f(x_0),\quad T_n'(x_0)=f'(x_0),\quad\ldots,T_n^{(n)}(x_0)=f^{(n)}(x_0).

(2)

Klar ist, dass diese Forderungen nur formulierbar sind, wenn $f$ wenigstens $n$ -mal differenzierbar ist.

Die Ableitungen von $T_n$ kann man explizit angeben. Man erhält so ein lineares Gleichungssystem für die $n+1$ Unbekannten $a_0,\ldots,a_n$ mit $n+1$ Gleichungen. Die Systemmatrix ist sogar schon in Stufenform, sodass das Lösen dieses LGS im Prinzip keine Probleme macht. Allerdings ist das Rückwärtseinsetzen recht fummelig und unterbleibt deshalb an dieser Stelle. Man erhält folgendes Ergebnis:

Das Taylor-Polynom vom Grad 1 wird auch als Tangente an die Funktion an der Stelle $x_0$ bezeichnet. Dies ist eine Gerade, die an der Stelle $x_0$ den gleichen Funktionswert und den gleichen Anstieg wie die Funktion $f$ hat. Das Taylor-Polynom vom Grad 2 wird gelegentlich als Schmiegparabel bezeichnet. Neben Funktionswert und Anstieg stimmt hier auch die Krümmung mit der von $f$ überein.

Beispiel

Zur Vereinfachung von Berechnungen soll die Sinusfunktion durch ein geeignetes Taylor-Polynom ersetzt werden. Wir entscheiden uns für den Grad $n=4$ , da Polynome vierten Grades manuell noch einigermaßen handhabbar sind. Als Entwicklungsstelle wählen wir $x_0:=\frac{\pi}{2}$ , da wir uns für den Sinus von Winkeln in $[0,\pi]$ interessieren (aus der Konstruktion der Taylor-Polynome kann man erwarten, dass die Näherung um so schlechter wird, je weiter wir von der Entwicklungsstelle entfernt sind).

Die relevanten Ableitungen sind

{\begin{align} f(x_0)&=\sin\frac{\pi}{2}=1,\\ f'(x_0)&=\cos\frac{\pi}{2}=0,\\ f''(x_0)&=-\sin\frac{\pi}{2}=-1,\\ f'''(x_0)&=-\cos\frac{\pi}{2}=0,\\ f^{(4)}(x_0)&=\sin\frac{\pi}{2}=1. \end{align}}

(4)

Somit

T_4(x)=1-\frac{1}{2}\,\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^2+\frac{1}{24}\,\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^4.

(5)

Diese Näherungsformel für die Sinusfunktion erlaubt das Berechnen von Sinuswerten unter Verwendung der vier Grundrechenarten.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-0.5 * np.pi, 1.5 * np.pi, 200)
f = np.sin(x)
T = 1 - 1/2 * (x - np.pi / 2) ** 2 + 1/24 * (x - np.pi / 2) ** 4

fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(x, f, '-b', label='Sinus')
ax.plot(x, T, '-r', label='Taylor-Polynom')
ax.plot(0.5 * np.pi, 1, 'or', label='Entwicklungsstelle')
ax.set_xlabel('x')
ax.legend()
ax.grid()
plt.show()

6.3.3Approximationsfehler¶

An der Entwicklungsstelle $x_0$ stimmen Funktion und Taylor-Polynom exakt überein. Mit wachsendem Abstand zur Entwicklungsstelle wird die Abweichung zwischen Funktion und Taylor-Polynom jedoch zunehmen. Frage: Können wir den Fehler, der durch das Ersetzen einer Funktion durch ein Taylor-Polynom entsteht, als konkrete Zahl angeben? Die Antwort ist ganz klar: Ja. Für das “Wie” gibt es verschiedenen Varianten. Wir geben hier nur eine an und verzichten auf die Herleitung.

Insbesondere erhält man mit Hilfe des Lagrange-Restglieds die Fehlerabschätzung

|f(x)-T_n(x)|\leq\frac{1}{(n+1)!}\,\left(\max_{\xi\in(a,b)}\bigl|f^{(n+1)}(\xi)\bigr|\right)\,|x-x_0|^{n+1}.

(7)

Beachte hier, dass $f^{(n+1)}$ unbeschränkt sein kann, sodass das Maximum nicht existiert (bzw. $\infty$ ist).

Beispiel

Betrachten nochmal das Taylor-Polynom vierten Grades für die Sinusfunktion bei $x_0=\frac{\pi}{2}$ . Für $x\in[0,\pi]$ erhalten wir die Fehlerabschätzung

{\begin{align} |\sin x-T_4(x)|&\leq\frac{1}{5!}\,\left(\max_{\xi\in[0,\pi]}|\cos\xi|\right)\,\left|x-\frac{\pi}{2}\right|^5\\ &=\frac{1}{120}\,\left|x-\frac{\pi}{2}\right|^5 \leq\frac{1}{120}\,\left(\frac{\pi}{2}\right)^5 \leq 0.08, \end{align}}

(8)

wobei die vorletzte Abschätzung aus $|x-\frac{\pi}{2}|\leq\frac{\pi}{2}$ folgt.

Somit stimmt bis zur ersten Nachkommastelle der mittels $T_4$ berechnete Näherungswert für $\sin x$ mit dem exakten Wert im Wesentlichen überein.

6.3.4Ausblick¶

Wie eingangs erwähnt, gibt es diverse Möglichkeiten Polynome als Näherung für eine Funktion zu konstruieren. Taylor-Polynome konzentrieren sich auf eine Stelle und fordern dort die Gleichheit der Ableitungen bis zu einer gewählten Ordnung. Das andere Extrem sind Interpolationspolynome. Bei diesen fordert man die Gleichheit der Funktionswerte an mehreren Stellen. Möchte man ein Polynom vom Grad $n$ konstruieren, fordert man also die Gleichheit der Funktionswerte an $n+1$ Stellen.

Zwischen diesen beiden Extremen gibt es nahezu beliebige Mischformen. Eine in der Praxis sehr beliebte Variante sind sogenannte Splines. Grundidee ist, nicht ein Polynom für den gesamten Definitionsbereich zu bilden, sondern auf Teilintervallen zu arbeiten. Auf jedem Teilintervall wird ein eigenes Polynom (mit vorgegebenem Grad) konstruiert, sodass die einzelnen Polynome an den Intervallenden zusammenpassen, also gleiche Funktionswerte und gleiche Ableitungen wie die zu approximierende Funktion besitzen.

Für vektorwertige Funktionen und für Funktionen mehrerer Veränderlicher gibt es sehr ähnliche, auf Polynomen basierende Konstruktionen. Insbesondere sind die in der Computergrafik sehr beliebten Bézier-Kurven eine Form von Näherungspolynomen für Funktionen $f:[a,b]\to\bbR^2$ .