Ausblick: Eigenwerte und Eigenvektoren

Dieses Unterkapitel ist für die Prüfung nicht relevant. Es dient lediglich der ersten Einordnung einiger Begriffe, die Ihnen im Laufe Ihres Studiums begegnen werden. Wir haben mit der Einführung der Ideen und Konzepte rund um Vektoren und Matrizen viel Vorarbeit geleistet; die Früchte unserer Saat werden dann in anderen Veranstaltungen geerntet. Gönnen wir uns hier wenigstens einen kleinen Vorgeschmack...

5.7.1Idee¶

Koordinatensysteme wählt man üblicherweise so, dass die auszuführenden Arbeiten (Berechnungen, Visualisierungen,...) möglichst einfach werden. Sind zahlreiche Matrix-Vektor-Multiplikationen mit einer Matrix $A$ durchzuführen, so kann man die Frage stellen, ob die Berechnung von Matrix-Vektor-Produkten in einem an die konkrete Matrix $A$ angepassten Koordinatensystem eventuell deutlich einfacher wird.

In der Tat ist dies der Fall: Zu jeder symmetrischen (!) Matrix $A\in\bbR^{n\times n}$ gibt es eine ONB, sodass die Matrix-Vektor-Multiplikation bei Darstellung des Vektors bzgl. dieser ONB zu einer elementweisen Multiplikation des Vektors mit einem festen Vektor wird. Sind $u_1,\ldots,u_n$ die Koordinaten eines Vektors $x\in\bbR^n$ bzgl. dieser speziellen Basis, so gilt also

A\,x={\begin{bmatrix}\lambda_1\,u_1\\\vdots\\\lambda_n\,u_n\end{bmatrix}}

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mit festen Zahlen $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ , die aus den Einträgen der Matrix $A$ berechnet werden können. Statt des aufwendigen Matrix-Vektor-Produkts mit $n^2$ Multiplikationen und $n\,(n-1)$ Additionen sind nun nur noch $n$ Multiplikationen nötig. Für $n=1000$ (für heutige Verhältnisse also eher klein) reduziert sich der Aufwand beispielweise von 1000000 Multiplikationen und Additionen auf 1000 Multiplikationen.

Diese speziell an die Matrix angepasste Basis heißt Eigenvektorbasis von $A$ ; die Basisvektoren heißen Eigenvektoren. Die festen Faktoren $\lambda_k$ für die Matrix-Vektor-Multiplikation heißen Eigenwerte.

5.7.2Präzisierung¶

Führen die obige Idee noch in Formeln aus.

Nebenbemerkung

Die Existenz von Eigenvektoren und Eigenwerten ist keineswegs einfach nachzuweisen. Deshalb findet man oft folgende Definition, die die Existenzfrage zunächst beiseitelässt; ob die so definierten Objekte (Eigenvektoren, Eigenwerte) überhaupt existieren, muss dann im Nachgang geklärt werden:

Sei $A\in\bbR^{n\times n}\setminus\{0\}$ eine symmetrische Matrix. Ein Vektor $b\in\bbR^n$ heißt Eigenvektor von $A$ , wenn es eine Zahl $\lambda$ gibt, sodass $A\,b=\lambda\,b$ gilt. Die Zahl $\lambda$ heißt dann Eigenwert von $A$ .

Bei dieser Definition sind automatisch auch alle Vielfachen eines Eigenvektors wieder Eigenvektoren. Hat man sich (recht mühsam) von der Existenz von Eigenvektoren überzeugt, so muss man noch die Existenz einer Orthonormalbasis aus Eigenvektoren zeigen (ebenfalls mühsam).

Sind $u_1,\ldots,u_n$ die Koordinaten eines Vektors $x\in\bbR^n$ bzgl. der Eigenvektorbasis einer Matrix $A$ , so folgt insbesondere

A\,x=A\,\left(\sum_{k=1}^n u_k\,b_k\right)=\sum_{k=1}^n u_k\,A\,b_k=\sum_{k=1}^n u_k\,\lambda_k\,b_k,

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d.h. die Koordinaten von $A\,x$ bzgl. der Eigenvektorbasis sind $\lambda_1\,u_1,\ldots,\lambda_n\,u_n$ .

Auf die Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren gehen wir hier nicht näher ein. Diese ist manuell recht mühsam und wird üblicherweise mit dem Computer erledigt, insbesondere da die Matrizen bei praktisch relevanten Aufgabenstellungen viel zu groß für manuelles Rechnen sind.

Nebenbemerkung

Für nicht symmetrische quadratische Matrizen kann man die Begriffe “Eigenwert” und “Eigenvektor” ebenfalls einführen. Allerdings existieren die Eigenwerte dann nicht zwingend als reelle Zahlen. Dehnt man den Zahlenbereich auf komplexe Zahlen aus, so funktioniert alles im Wesentlichen wieder wie bei symmetrischen Matrizen. Allerdgins findet man nicht zwingend eine ONB aus Eigenvektoren, jedoch stets eine Basis.

Für nicht quadratische Matrizen $A\in\bbR^{m\times n}$ sind Eigenwerte und Eigenvektoren aufgrund der unterschiedlichen Länge der Vektoren $x\in\bbR^n$ und $A\,x\in\bbR^m$ nicht sinnvoll einführbar. Es gibt allerdings ein sehr ähnliches Konstrukt, welches als Singulärwertzerlegung in der Literatur zu finden ist. Man bedient sich hier zweier an die Matrix angepasster Koordinatensysteme, eins in $\bbR^n$ und eins in $\bbR^m$ , und kann die Matrix-Vektor-Multiplikation dann wieder als elementweise Multiplikation mit den sogenannten Singulärwerten der Matrix darstellen. Für symmetrische Matrizen entsprechen die Singulärwerte gerade den Eigenwerten.

5.7.3Anwendungen¶

Gehen kurz auf einige Anwendungen von Eigenwerten und Eigenvektoren ein. Es zeigt sich, dass Eigenwerte und -vektoren sehr relevante Interpretationen in verschiedensten praktischen Problemen habe. Entsprechend häufig wird man ihnen in der Praxis begegnen; teils auch ohne dies zu bemerken.

5.7.3.1Hauptkomponentenanalyse¶

Im heutigen Datenzeitalter wird alles an Daten gesammelt, was verfügbar ist. Dies führt zu der Frage, wie man relevante Informationen aus umfangreichen Datensammlungen extrahiert. Sollen beispielsweise klimatische Prozesse untersucht werden, so wird man zunächst alle möglichen Parameter aufzeichnen ohne im Vorfeld detailliert zu klären, ob diese überhaupt relevant sind: Temperaturen in verschiedenen Höhen und an verschiedenen Orten, Luftfeuchte, Bewölkung, Sonnenstand, Windgeschwindigkeiten usw. (alles, was irgendwie messbar ist). Die Messungen könnten zum Beispiel stündlich oder täglich stattfinden. Am Ende stehen eine Vielzahl von sogenannten Datenpunkten zur Verfügung. Jeder Datenpunkt entspricht der Messung zu einem Zeitpunkt und enthält (als Koordinaten bzgl. der Standardbasis) die Messwerte (Temperatur, Luftfeuchte usw.). Bei $n$ Messungen von $m$ verschiedenen Parametern enstehen so $n$ Datenpunkte $x_1,\ldots,x_n\in\bbR^m$ .

Die Anzahl $m$ der Parameter ist meist sehr groß (100 und mehr; gelegentlich auch im Bereich von Millionen). Auch die Anzahl $n$ der Messungen ist stets sehr groß (oft ebenfalls im Bereich von Millionen). Wie kann man anhand dieser Datenmasse nun sehen, welche Parameter oder Parameterkombination (!) eigentlich relevant sind? Dabei sehen wir einen Parameter bzw. eine gewichtete Kombination von Parametern als relevant an, wenn die entsprechenden Messwerte einen vergleichsweise großen Wertebereich aufweisen. Parameter(-kombinationen), für die bei jeder Messung fast der gleiche Wert gemessen wird, sind hingegen nicht relevant.

Die Antwort findet man mit der so genannten Hauptkomponentenanalyse. Aus mathematischer Sicht werden folgende Schritte ausgeführt:

Schreibe die Messpunkte $x_k\in\bbR^m$ als Zeilen in eine Matrix $X\in\bbR^{n\times m}$ .
Berechne die Eigenwerte und Eigenvektoren zur symmetrischen Matrix $X^\rmT\,X\in\bbR^{m\times m}$ .
Wähle die Eigenvektoren zu den größten Eigenwerten aus; $b_1$ sei der Eigenvektor zum größten Eigenwert, $b_2$ der zum zweitgrößten usw.
Bilde die Skalarprodukte $x_k\circ b_1,x_k\circ b_2,\ldots$ für alle Datenpunkte $x_k$ und die gewählten Eigenvektoren. Jedes Skalarprodukt generiert eine Parameterkombination aus dem Datenpunkt $x_k$ . Diese so aus den ursprünglichen Parametern erzeugten Parameterkombinationen haben den höchstmöglichen Informationsgehalt, der aus der gesamten Datenmenge extrahiert werden kann. Insbesondere sind auch bei großer Parameteranzahl $m$ meist nur sehr wenige Eigenvektoren nötig, um alle relevanten Informationen darzustellen.

Um einzusehen, dass dieses Vorgheen sinnvoll ist, benötigt man einiges an Statistik-Wissen. Wir verweisen an dieser Stelle auf weiterführende Lehrveranstaltungen. Siehe auch Principal component analysis (der deutsche Wikipedia-Artikel zum Thema ist leider qualitativ etwas unterdurchschnittlich, Stand: 23.08.2026).

5.7.3.2Schwingungsanalysen¶

In Elektrotechnik, Mechanik und anderen Teilgebieten von Physik und Technik werden unter anderem Schwingungsprozesse untersucht. Insbesondere geht man der Frage nach, bei welchen Erregerfrequenzen Resonanz auftritt. Manchmal ist Resonanz erwünscht (Akustik, elektromagnetische Wellen,...), meist jedoch nicht (z.B. bei Brücken, vgl. Video der Zerstörung der Tacoma Narrows Bridge (via Wikipedia)).

Das Verhalten vieler technischer Systeme mit schwingenden Komponenten lässt sich in Form von linearen Gleichungssystemen modellieren und/oder simulieren. Die Eigenfrequenzen des untersuchten Systems, also die Frequenzen, die bei entsprechender Fremderregung zu Resonanz führen, sind dann gerade die Eigenwerte der Systemmatrix des LGS. Die zugehörigen Eigenvektoren enthalten zusätzliche Informationen über die meist recht komplexen Schwingungsvorgänge.

5.7.3.3PageRank-Algorithmus¶

Der PageRank-Algorithmus bildete die Grundlage der ursprünglichen Google-Suchmaschine. Bei diesem werden die Verlinkungen zwischen verschiedenen Webseiten genutzt, um auf die Wichtigkeit jeder einzelen Webseite und damit auf die Sortierung von Suchergebnissen zu schließen. Schreibt man alle Gewichte (je größer das Gewicht, desto wichtiger die Webseite) in einen langen Vektor $x\in\bbR^n$ , wobei $n$ die Anzahl der der Suchmaschine bekannten Webseiten ist, so kann man sich überlegen, dass

A\,x=x

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mit einer gewissen Matrix $A\in\bbR^{n\times n}$ gelten muss. In dieser Matrix ist hinterlegt, welche Webseite auf welche Website verlinkt (vereinfacht: eine Eins in Zeile $i$ und Spalte $j$ heißt, dass Webseite $i$ auf Webseite $j$ verlinkt; eine Null steht für “keine Verlinkung”). Je mehr (wichtige) Webseiten auf eine gewisse Webseite verlinken, desto wichtiger ist die Seite selbst.

Die obige Gleichung sagt aus, dass der gesuchte Gewichtsvektor ein Eigenvektor der Link-Matrix $A$ zum Eigenwert 1 ist. Die ganze Frage des Page-Rankings, also der Sortierung von Suchergebnissen nach Wichtigkeit, ist aus mathematischer Sicht also “nur” ein bisschen Matrix-Vektor-Rechnung.