5.4 Lineare Unterräume und Untermannigfaltigkeiten

Die hier behandelten Begriffe mögen etwas abstrakt erscheinen, sind uns aber schon in der Schulmathematik in Form von Geraden und Ebenen begegnet. Auch beim Lösen von linearen Gleichungssystemen spielen diese Begriffe eine Rolle.

5.4.1Unterräume¶

Ein Unterraum ist eine Teilmenge von $\bbR^n$, in der wir die üblichen Vektoroperationen (Addition und skalare Vielfache) ausführen können ohne dabei diese Teilmenge zu verlassen. Genauer:

Offensichtlich ist $\{0\}$ (Menge, die nur den Nullvektor enthält) ein Unterraum und auch $\bbR^n$ selbst ist ein Unterraum.

Der Wert von Unterräumen besteht darin, dass wir in ihnen mit Vektoren arbeiten können als würde es aushalb keine weiteren Vektoren geben. Arbeitet man beispielweise im $\bbR^3$ nur mit Vektoren (oder Punkten), die alle in einer Ebene liegen, so unterscheidet sich das Vorgehen praktisch nicht vom Arbeiten in $\bbR^2$. Wie genau dieser Übergang zwischen Unterräumen und den entsprechenden “ganzen” Räumen vollzogen werden kann, ist Thema der nächsten Abschnitte.

5.4.2Lineare Unabhängigkeit¶

Wenn wir zwei Vektoren $a,b\in\bbR^n\setminus\{0\}$ betrachten, dann können diese Vielfache voneinander sein (also in die gleiche Richtung bzw. Gegenrichtung zeigen) oder nicht. In letzterem Fall sagt man, dass die beiden Vektoren linear unabhängig sind. Nimmt man einen dritten Vektor $c\in\bbR^n\setminus\{0\}$ hinzu, so liegt dieser wahlweise in der von den ersten beiden Vektoren aufgespannten Ebene oder nicht. In letzterem Fall sagt man wieder, dass die drei Vektoren linear unabhängig sind. In ersterem Fall können wir $c$ als Linearkombination

mit $\alpha,\beta\in\bbR$ darstellen. Anders ausgedrückt: Wir finden Zahlen $\alpha,\beta,\gamma\in\bbR$, sodass

gilt, obwohl die drei Zahlen nicht alle Null sind (speziell ist hier $\gamma=-1$). Allgemeiner definieren wie lineare Unabhängigkeit wie folgt:

Enthält die Menge $\{a_1,\dots,a_r\}$ den Nullvektor, so ist sie offensichtlich stets linear abhängig (das entsprechende $\lambda_k$ kann beliebig gewählt werden).

Ist die Menge $\{a_1,\dots,a_r\}$ linear abhängig, so gibt es ein $l\in\{1,\ldots,r\}$, sodass $\lambda_l\neq 0$, aber trotzdem die Linearkombination $\sum_{k=1}^r\lambda_k\,a_k$ den Nullvektor liefert. Umgestellt gilt

d.h. $a_l$ lässt sich als Linearkombination der anderen Vektoren darstellen.

Umgekehrt gilt: Lässt sich ein Vektor als Linearkombination anderer Vektoren darstellen, so ist die entsprechende Menge von Vektoren linear abhängig (wähle $\lambda_l=-1$ wie oben für $\bbR^3$ beschrieben).

5.4.3Basis und Dimension¶

Man kann nun der Frage nachgehen, wie viele linear unabhängige Vektoren man eigentlich finden kann. In der Ebene stellt man schnell fest, dass höchstens zwei Vektoren linear unabhängig sein können. Mengen mit drei oder mehr Vektoren sind stets linear abhängig. Entsprechend findet man im Raum nur höchsten drei linear unabhängige Vektoren. Wir können lineares Unabhängigkeit also als Grundlage für die präzise Formulierung des intuitiv klaren Begriffs “Dimension” verwenden.

Der triviale Unterraum $\{0\}$ hat Dimension Null: Es gibt nur einen Vektor, den Nullvektor, und Mengen, die den Nullvektor enthalten, sind stets linear abhängig.

Die Dimension von $\bbR^n$ ist $n$: Die Menge $\{e_1,\ldots,e_n\}$ (wobei $e_k$ in der $k$-ten Komponenten eins ist und sonst null) ist linear unabhängig und jeder weitere Vektor $x\in\bbR^n$ kann als Linearkombination $x=\sum_{k=1}^n x_k\,e_k$ geschrieben werden, führt also zu linearer Abhängigkeit.

Offensichtlich gilt für jeden Unterraum $U$ von $\bbR^n$, dass $\dim U\in\{0,1,\ldots,n\}$.

Beispielsweise bilden die Vektoren $e_1,\ldots,e_n$ eine Basis in $\bbR^n$. Es gibt jedoch auch noch andere Basen. Mehr dazu später.

5.4.4Koordinaten bezüglich einer Basis¶

Existenz und Eindeutigkeit der Koordinaten bezüglich einer Basis können leicht nachgewiesen werden. Da diese Überlegungen für uns aber keine neue Erkenntnisse bringen, verzichten wir darauf.

Offensichtlich sind die Komponenten $x_1,\ldots,x_n$ eines Vektors $x\in\bbR^n$ gerade die Koordinates bezüglich der Basis $\{e_1,\ldots,e_n\}$, denn

Wie man systematisch die Koordinaten eines Vektors bezüglich einer beliebigen gegebenen Matrix berechnet, klären wir später.

Die Tatsache, dass man bei der Arbeit in Unterräumen mit (teils deutlich) “kürzeren” Vektoren arbeiten kann, macht man sich in den Datenwissenschaften (Data Science) und im maschinellen Lernen zu nutze. Zu analysierende Daten “leben” oft in einem sehr hochdimensionalen Grundraum (Bilddaten mit 1000x1000 Pixeln z.B. in $\bbR^{1000000}$), während die eigentlich relevanten Datenpunkte sich in einem vergleichsweise niedrigdimensionalen Unterrraum befinden. Durch Wahl geeigneter Basen können Ressourcen (Speicher, Rechenzeit) gespart werden.

5.4.5Aufspannung¶

Oben hatten wir uns mit Basen in einem gegebenen Unterraum beschäftigt. Umkehrt steht man manchmal vor der Frage, was denn eigentlich der kleinste Unterraum ist, der eine gegebene Menge von Vektoren enthält.

Folgende Eigenschaften von $\vecspan\{b_1,\ldots,b_r\}$ sieht man leicht ein:

• Die Aufspannung ist ein linearer Unterraum.

• Die Menge $\{b_1,\ldots,b_r\}$ ist eine Basis in ihrer Aufspannung.

• Die Aufspannung ist der kleinste Unterraum, der $\{b_1,\ldots,b_r\}$ enthält, d.h. jeder Unterraum, der $\{b_1,\ldots,b_r\}$ enthält, enthält automatisch auch $\vecspan\{b_1,\ldots,b_r\}$.

In $\bbR^3$ ist die Aufspannung von zwei linear unabhängigen Vektoren eine Ebene. In $\bbR^2$ und $\bbR^3$ ist die Aufspannung eines Vektors (außer Nullvektor) eine Gerade. Zwei linear unabhängige Vektoren in $\bbR^2$ spannen den gesamten $\bbR^2$ auf, usw.

5.4.6Orthonormalbasen¶

Meist ist man an besonders schönen, d.h. leicht zu handhabenden Basen, interessiert. Führen hier eine Klasse besonders schöner Basen und einige Begriffe aus deren Umfeld ein.

Die Bedingung $a_k\circ a_l=0$ besagt, dass die Basisvektoren senkrecht zueinander stehen. Zusammen mit der Normierung $\|a_k\|=1$ kann man die definierende Eigenschaft eines ONS auch als

ausdrücken.

Offensichtlich ist die Standardbasis $e_1,\ldots,e_n$ eine ONB.

5.4.7Untermannigfaltigkeiten¶

Unterräume enthalten stets den Koordinatenursprung. Für mehr Flexibilität (beim Modellieren und beim Formulieren in der Sprache der Mathematik) führt man noch “verschobene” Unterräume ein:

Jede Wahl eines Vektors $x$ und eines Unterraums $U$ liefert also eine Mannigfaltigkeit. Allerdings können verschiedenen Kombination zur gleichen Untermannigfaltigkeit führen. Insbesondere erhält man bei $x\in U$ wieder $U$; jeder Unterraum ist also selbst eine Untermannigfaltigkeit.

Wählt man zwei Vektoren $a,b$ aus einer Untermannigfaltigkeit $x+U$, so liegt deren Differenz $a-b$ stets in $U$. (Begründung: Es existieren $u,v\in U$ mit $a=x+u$ und $b=x+v$. Somit $a-b=x+u-(x+v)=u-v$. Da skalare Vielfache und Summen von Elementen eines Unterraums wieder im Unterraum liegen, folgt $a-b\in U$.) In diesem Sinne kann man aus einer Untermannigfaltigkeit auch ohne Kenntnis des Verschiebungsvektors $x$ den zugrundeliegenden Unterraum zurückerhalten.

5.4.8Geraden¶

Hatten schon gelegentlich Geraden als Unterräume des $\bbR^2$ betrachtet. Natürlich besitzen auch $\bbR^3$ und höherdimensionale Räume eindimensionale Unterräume. Diese werden allerdings nur in $\bbR^2$ und $\bbR^3$ als Geraden bezeichnet. Eindimensionale Untermannigfaltigkeiten werden in $\bbR^2$ und $\bbR^3$ ebenfalls als Geraden bezeichnet.

Eine Gerade ist durch einen Aufpunkt (bzw. dessen Ortsvektor) und einen Richtungsvektor bestimmt. Allgemein können wir jede eindimensionale Untermannigfaltigkeit in der Form

schreiben, wobei $a,b\in\bbR^n$ fest sind. Handelt es sich um einen Unterraum, so ist $\{b\}$ eine Basis darin und $t$ ist gerade die Koordinate des entsprechenden Vektors bezüglich dieser Basis.

5.4.9Ebenen¶

Ebenen sind zweidimensionale Untermannigfaltigkeiten in $\bbR^3$. Gelegentlich sieht man den Begriff “Hyperebene”. Dabei handelt es sich nicht (!) um eine zweidimensionale Untermannigfaltigkeit in $\bbR^n$, sondern um eine Untermannigfaltigkeit mit Dimension $n-1$.

Eine Ebene ist durch einen Aufpunkt (bzw. dessen Ortsvektor) und zwei linear unabhängige (!) Richtungsvektoren bestimmt. Allgemein können wir jede zweidimensionale Untermannigfaltigkeit in der Form

schreiben, wobei $a,b,c\in\bbR^n$ fest sind. Handelt es sich um einen Unterraum, so ist $\{b,c\}$ eine Basis darin und $s,t$ sind gerade die Koordinaten des entsprechenden Vektors bezüglich dieser Basis.