Vektorgeometrie - Mathematik I (i933)

Vektoren und Matrizen als zunächst rein formale Werkzeuge sind sehr gut geeignet zur Beschreibung geometrischer Operationen (Verschiebungen, Drehungen, Streckungen, Projektionen,...). Beschäftigen uns hier zunächst mit Verschiebungen und einfachen Projektionen. Weitere Operationen folgen in späteren Unterkapiteln.

5.2.1Verschiebungen¶

Möchte man eine gegebene Menge von Punkten im $\bbR^n$ in eine gegebene Richtung verschieben, so kann man diese Operation mittels Vektoraddition beschreiben. An dieser Stelle ist es üblich und sinnvoll zwischen Punkten und Vektoren zu unterscheiden. Ein Punkt $P\in\bbR^n$ gibt einen geometrischen Ort an, während ein Vektor $r\in\bbR^n$ eine Richtung angibt. Die Summe $P+r$ ist dann wieder als (verschobener) Punkt zu interpretieren. Einen formal sauberen Übergang zwischen Punkten und Vektoren schafft man sich über den Begriff des Ortsvektors:

Beachte hier, dass wir entgegen einer recht weit verbreitenen (Un-)Sitte “ $P:=(p_1,\ldots,p_n)$ ” statt “ $P(p_1,\ldots,n_n)$ ” für die Zuordnung von Koordinaten zu einem Punkt schreiben. Letzteres ist zu leicht mit einer Funktionsauswertung zu verwechseln und verschlechtert damit die Lesbarkeit.

Zu jedem Punkt gibt es also einen Ortsvektor. Umgekehrt können wir jeden Vektor als Ortsvektor eines Punktes interpretieren, indem wir die Komponenten des Vektors als Koordinaten eines Punktes ansehen.

Mit Hilfe von Ortsvektoren können wir nun die Verschiebung von Punkten beschreiben:

Punkte O, P, Q und Vektoren OP, OQ PQ — Die Verschiebung eines Punktes kann als Addition des Ortsvektors mit dem Richtungsvektor beschrieben werden.

Im Prinzip könnten wir für einen Punkt $P$ und einen Vektor $r$ nun die Operation

P+r:=\overrightarrow{OP}+r

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definieren. Üblicherweise belässt man es aber bei $\overrightarrow{OP}+r$ , hat also ausschließlich Vektoren in Formeln stehen.

Nebenbemerkung (koordinatenfreie Geometrie)

Man kann die Arbeit mit Punkten und Vektoren in gewissem Maße auch “koordinatenfrei” betreiben. Punkte sind dann Orte in der Ebene (oder im Raum) ohne Bezug zu einem konkreten Koordinatensystem. Vektoren sind “Verschiebungen”, die man sich als lose in Ebene (oder Raum) herumliegende Pfeile vorstellt. Die “Addition” von Vektoren beschreibt man verbal als “Hintereinanderhängen” von Vektoren. Möchte man einen Punkt in eine gewisse Richtung verschieben, so wählt man sich einen Referenzpunkt $O$ (mangels Koordinatensystem gibt es keinen Ursprung) und drückt die Verschiebung als Addition (d.h. “Hintereinanderhängen”) des Vektors, der von $O$ zum Punkt zeigt, und des Richtungsvektors aus.

Diese Herangehensweise ist recht verlockend, da die meisten geometrischen Operationen (z.B. auch Drehungen) völlig unabhängig von Koordinatensystemen beschrieben werden können. Allerdings ist es schwierig bis unmöglich die benötigten Begriffe wirklich sauber zu definieren. Auch ist dieser Ansatz in der Praxis ohne Relevanz, da stets ein kanonisches Koordinatensystem vorhanden ist, insbesondere bei der Arbeit mit dem Computer.

Angemerkt sei noch, dass man aus den bisherigen Überlegungen auch die geometrische Interpretation der Summe zweier Vektoren $a,b\in\bbR^n$ erhält. Die Summe entspricht der Diagonale des von den beiden Vektoren beschriebenen Parallelogramms, die am gemeinsamen Ausgangspunkt der beiden Vektoren beginnt. Die andere Diagonale ist dann gerade die Differenz.

Summe und Differenz zweier Vektoren — Zwei Vektoren beschreiben ein Parallelogramm. Die beiden Diagonalen sind gerade Summe und Differenz der beiden Vektoren.

5.2.2Abstand zweier Punkte¶

Mit dem bis hier eingeführten Formalismus der Vektorrechnung und den Betrachtungen zur Verschiedung von Punkten erhalten wir folgenden Zusammenhang:

5.2.3Projektion eines Vektors auf einen anderen Vektor¶

Öfter als man denkt werden wir eine Operation benötigen, die als “Projektion eines Vektors auf einen anderen Vektor” bezeichnet wird. Insbesondere wird uns diese Operation sehr beim Wechsel zwischen verschiedenen Koordinatensystemen behilflich sein. Hier zunächst nur ein motivierendes Beispiel aus der Schulphysik.

Beispiel (mechanische Arbeit)

Bewegt sich ein Objekt auf direktem Weg (also geradlinig) von einem Punkt zu einem anderen unter dem Einfluss von Kräften, so wird (mechanische) Arbeit verrichtet. Denken wir beispielsweise an einen Eisenbahnwagon auf einem geraden Streckenabschnitt, so wirken unter anderem Reibungskräfte und vielleicht eine Hangabtriebskraft (bei Steigung/Gefälle). Der Antrieb (Lok) muss zur Bewegung des Wagons Arbeit verrichten, wobei das physikalische Gesetz

Arbeit = Weg $\cdot$ Kraft in Wegrichtung

gilt. Wirken nun auch Kräfte in andere als die Bewegungsrichtung (z.B. Wind), so hilft diese einfache Regel nicht mehr weiter. Wir müssen daher wahlweise auf ein allgemeiner formuliertes Gesetz ausweichen oder den Anteil der Kraft, der in Wegrichtung wirkt, aus der Gesamtkraft berechnen. Beide Varianten sind machbar; interessieren uns hier aber zunächst für die letztere (das allgemeinere Gesetz erhalten wir später (fast) geschenkt).

Beschreiben den zurückgelegten Weg zwischen Startpunkt $S$ und Endpunkt $E$ als Vektor $s:=\overrightarrow{SE}$ . Die wirkende Kraft können wir ebenfalls als Vektor $F$ beschreiben. Die Richtung des Vektors entspricht der Richtung der Kraft und die Länge des Vektors entspricht dem Betrag der Kraft. Wollen den Kraftvektor in eine Summe $F_l+F_q$ zweier Vektoren zerlegen, wobei $F_l$ längs des Weges und $F_q$ quer zum Weg zeigt. Die Länge von $F_l$ ist dann gerade der Betrag der Kraft in Wegrichtung, also die Größe, die wir für die obige Formel aus der Schulphysik benötigen.

Beachte, dass die Kräfte $F$ und $F_l$ an jedem Punkt des Weges auf das Objekt wirken, hier aber nur am Startpunkt $S$ gezeichnet sind. Entsprechend wirkt auch die Kraft $F_q$ an jedem Punkt des Weges, wurde hier aber an einer für die Visualisierung der Zerlegung von $F$ günstigen Stelle eingetragen.

Anschaulich besagt die erste Bedingung, dass $c$ in die Richtung von $b$ (oder genau entgegen) zeigt. Die zweite Bedingung fordert indirekt, dass $a-c$ senkrecht zu $b$ verläuft, wie wir später sehen werden, wenn wir Winkel zwischen Vektoren betrachten.

Projektion eines Vektors auf einen anderen in verschiedenen Konstellationen. — Die Länge des Vektors $b$ spielt keine Rolle; nur seine Richtung ist relevant für die Projektion von $a$ auf $b$ , wobei die Projektion $c$ auch genau die entgegengesetzte Richtung zu $b$ haben kann. Ist $a-c$ nicht der kürzest mögliche Vektor, so spricht man nicht von einer Projektion.

Es zeigt sich, dass die Projektion eines Vektors auf einen anderen sehr leicht mit Hilfe des Skalarprodukts der beiden gegebenen Vektoren berechnet werden kann. Wir müssen also nicht mit Winkeln hantieren, sondern nur mit einfachen Summen und Produkten von Zahlen. Dies ist der große Wert des so banal erscheinenden Skalarprodukts! Es spielt in gewisser Weise die Rolle von Winkeln zwischen Vektoren, ohne dass wir uns mit Winkeln und den dann kaum vermeidbaren Winkelfunktionen (Sinus, Cosinus,...) herumschlagen müssen. Im nächsten Abschnitt gehen wir genauer auf den Zusammenhang zwischen Skalarprodukt und Winkeln ein.

Die Projektion von $a$ auf $b$ kann man also in zwei Schritten berechnen:

$b$ normieren.
$(a\circ\tilde{b})\,\tilde{b}$ berechnen, wobei $\tilde{b}$ der normierte Vektor $b$ ist.

Beispiel (allgemeine Formel für die mechanische Arbeit)

Betrachten nochmal die aus der Schulphysik bekannte Berechnung der mechanischen Arbeit. Sei also $s$ wieder der Wegvektor und $F$ der Kraftvektor. Dann ist die Länge des Weges $\|s\|$ und der Betrag der in Wegrichtung wirkenden Kraft ist

\left\|\left(F\circ\frac{s}{\|s\|}\right)\,\frac{s}{\|s\|}\right\| =\left|F\circ\frac{s}{\|s\|}\right|\,\left\|\frac{s}{\|s\|}\right\| =\left|F\circ\frac{s}{\|s\|}\right|.

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Die aus der Schulphysik bekannte Formel zur Berechnung der mechanischen Arbeit liefert somit

W=\left|F\circ\frac{s}{\|s\|}\right|\,\|s\|=|F\circ s|.

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Für Kräfte, die nicht in Wegrichtung wirken, gilt also im Sinne des Skalarprodukts ebenfalls die bekannte Formel “Arbeit ist Kraft mal Weg”.

Umgekehrt erhalten wir aus der allgemeinen Formel natürlich die einfache Formel zurück: Zeigt der Kraftvektor $F$ in Wegrichtung, so gilt

F=\|F\|\,\frac{s}{\|s\|}

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und Einsetzen in die allgemeine Formel liefert

{\begin{align} W &=|F\circ s| =\left|\left(\|F\|\,\frac{s}{\|s\|}\right)\circ s\right| =\left|\frac{\|F\|}{\|s\|}\,(s\circ s)\right|\\ &=\left|\frac{\|F\|}{\|s\|}\,\|s\|^2\right| =\bigl|\|F\|\,\|s\|\bigr| =\|F\|\,\|s\|. \end{align}}

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5.2.4Winkel zwischen zwei Vektoren¶

Wollen den in $\bbR^2$ und $\bbR^3$ intuitiv klaren Begriff des Winkels zwischen zwei Vektoren formalisieren (also ohne Bezug zu Intuition und Anschauung erklären), damit er auch in $\bbR^n$ mit $n>3$ zur Verfügung steht.

Dazu einige Hinweise:

Ist einer der beiden Vektoren der Nullvektor, so ist der Begriff “Winkel” nicht sinnvoll erklärbar. Entsprechend wird in der Definition $a\neq 0$ und $b\neq 0$ vorausgesetzt (0 ist hier der Nullvektor in $\bbR^n$ ).
Der Definitionsbereich von $\arccos$ ist das Intervall $[-1,1]$ . Aus der Cauchy-Schwarz-Ungleichung (vgl. Skalarprodukt zweier Vektoren) erhalten wir
$\left|\frac{a}{\|a\|}\circ\frac{b}{\|b\|}\right|\leq\left\|\frac{a}{\|a\|}\right\|\,\left\|\frac{b}{\|b\|}\right\|=1,$
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sodass der Ausdruck in der Definition des Winkels stets wohldefiniert ist.
Der Winkel zwischen zwei Vektoren liegt stets im Intervall $[0,\pi]$ .
Bezeichnen wir mit $\varphi$ den Winkel zwischen den beiden Vektoren $a$ und $b$ , so folgt aus der Definition sofort
$a\circ b=\|a\|\,\|b\|\,\cos\varphi.$
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Dass die obige Definition des Begriffs “Winkel” mit der üblichen Verwendung des Begriffs in Einklang steht, sieht man aus der Berechnung der Projektion von Vektoren. Bei normierten Vektoren entspricht die Länge des projizierten Vektors (laut Definition des Cosinus) gerade dem Betrag des Cosinus des Winkels zwischen den beiden Vektoren, sofern der Winkel im Bereich $[0,\frac{\pi}{2}]$ liegt. Für Winkel in $[\frac{\pi}{2},\pi]$ ist die negative Länge des projizierten Vektors gerade der Cosinus des Winkels.

Winkel zwischen zwei Vektoren mit Cosinus und Sinus. — Die Länge des projizierten Vektors entspricht gerade dem Cosinus des Winkels. Die Länge des Differenzvektors zwischen Ausgangsvektor und projiziertem Vektor entspricht gerade dem Sinus des Winkels.

Aus der Beziehung zwischen Skalarprodukt und Winkel erhält man nützliche Informationen über das Vorzeichen des Skalarprodukts:

Für Winkel in $[0,\frac{\pi}{2})$ (spitzer Winkel) gilt $a\circ b>0$ .
Für senkrechte Vektoren gilt $a\circ b=0$ .
Für Winkel in $(\frac{\pi}{2},\pi]$ (stumpfer Winkel) gilt $a\circ b<0$ .

Somit kann nun auch ganz ohne den Begriff des Winkels von Orthogonalität sprechen. Tatsächlich werden wir, wo immer möglich, die Arbeit mit Winkeln zwischen Vektoren meiden und stattdessen das viel bequemere Skalarprodukt nutzen.

Beachte, dass nach dieser Definition der Nullvektor orthogonal zu jedem anderen Vektor ist.