Lineare Abbildungen - Mathematik I (i933)

5.3.1Begriff und Beispiele¶

Viele geometrische Operationen wie Drehen, Spiegeln und Strecken (nicht jedoch Verschieben!) haben eine gemeinsame Struktur, deren Kenntnis sich insbesondere für die rechnerische Umsetzung dieser Operationen vorteilhaft nutzen lässt. Auch die Umsetzung geometrischer Operationen am Computer, z.B. in CAD-Systemen, basiert ganz wesentlich auf dieser gemeinsamen Struktur.

Die beiden Bedingungen besagen, dass es bei linearen Abbildungen egal ist, ob man erst die Rechenoperation bei Vektoren anwendet (also Addition und skalares Vielfaches) und dann die Abbildung, oder ob man erst die Abbildung auf die Ausgangsvektoren anwendet und anschließend die notwendigen Rechenoperationen durchführt. Man sagt auch, dass lineare Abbildungen die Struktur des $\bbR^n$ erhalten bzw. diese in den $\bbR^m$ übertragen.

5.3.2Matrixdarstellung¶

Jede lineare Abbildung $f:\bbR^n\to\bbR^m$ kann als Matrix interpretiert werden. Um dies zu sehen, führen wir zunächst die Vektoren

e_k:={\begin{bmatrix}0\\\vdots\\0\\1\\0\\\vdots\\0\end{bmatrix}}

(3)

$k=1,\ldots,n$ ein. Diese sind bis auf eine Komponenten überall Null und der Vektor $e_k$ hat als $k$ -te Komponente eine Eins. Mit diesen Vektoren erhalten wir nun für jedes $x\in\bbR^n$ :

f(x)=f\left(\sum_{k=1}^n x_k\,e_k\right) =\sum_{k=1}^n f(x_k\,e_k) =\sum_{k=1}^n x_k\,f(e_k).

(4)

Beachte hier, das die $x_k$ die Komponenten des Vektors $x$ sind (also Zahlen), die $e_k$ jedoch selbst Vektoren sind. Schreiben wir die Vektoren $f(e_k)\in\bbR^m$ als Spalten in eine Matrix, so erhalten wir folgenden nützlichen Zusammenhang (vgl. dazu auch Hinweise zum Matrix-Vektor-Produkt):

Jede lineare Abbildung kann also als Matrix-Vektor-Produkt geschrieben werden. Umgekehrt ist für eine beliebige Matrix $A\in\bbR^{m\times n}$ die Abbildung $x\mapsto A\,x$ stets linear. Der Wert von Matrizen liegt ganz wesenlich in der Beschreibung beliebiger linearer Abbildung durch Zahlen. Und diese Zahlen kann man sehr einfach und explizit erhalten indem man die betrachtete lineare Abbildung auf die Vektoren $e_1,\ldots,e_n$ anwendet. Die Darstellung als Zahlen (Matrix) ermöglicht ein sehr bequemes Arbeiten mit linearen Abbildungen am Computer. Matrix-Vektor-Produkte sind ohne Weiteres am Computer umsetzbar.

Beispiel (Matrixdarstellung zur Drehung in der Ebene)

Ist $f:\bbR^2\to\bbR^2$ die Drehung in der Ebene um einen Winkel $\alpha\in\bbR$ um den Koordinatenursprung, so überlegt man sich leicht aus den Definitionen von Sinus und Cosinus, dass

f(e_1)={\begin{bmatrix}\cos\alpha\\\sin\alpha\end{bmatrix}},\qquad f(e_2)={\begin{bmatrix}-\sin\alpha\\\cos\alpha\end{bmatrix}}

(7)

gilt. Somit

f(x,y)={\begin{bmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\\sin\alpha&\cos\alpha\end{bmatrix}}\,{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}.

(8)

Eine Menge von Punkten, z.B. Eckpunkten eines Vielecks, lässt sich damit mühelos drehen:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

points = np.array([  # ein Punkt pro Zeile
    [3, 0],
    [3, 1],
    [1, 1],
    [1, 0],
    [3, 0]
])

angle = 30 * np.pi / 180  # Drehwinkel

A = np.array([  # Drehmatrix
    [np.cos(angle), -np.sin(angle)],
    [np.sin(angle),  np.cos(angle)]
])

rotated = (A @ points.T).T
# points.T enthält pro Spalte einen Punkt. Das Produkt enthält dann in jeder
# Spalte den entsprechenden gedrehten Punkt. Nochmaliges Transponieren liefert
# ein Array mit den gedrehten Punkten in den Zeilen.

fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(points[:, 0], points[:, 1], 'o-r', label='original')
ax.plot(rotated[:, 0], rotated[:, 1], 'o-b', label='gedreht')
ax.legend()
ax.axis('equal')  # gleiche Achseneinteilung (keine Verzerrung)
plt.show()

Im Laufe der Veranstalung werden uns weitere, auch deutlich komplexere, lineare Abbildungen begegnen.

5.3.3Komposition vs. Matrixmultiplikation¶

Sind $f:\bbR^n\to\bbR^p$ und $g:\bbR^p\to\bbR^m$ lineare Abbildung und sind $A\in\bbR^{n\times p}$ und $B\in\bbR^{p\times m}$ die zugehörigen Matrixdarstellungen, so gilt offensichtlich

(g\circ f)(x)=g(f(x))=g(A\,x)=B\,(A\,x)=(B\,A)\,x.

(11)

In Worten: Die Matrixdarstellung der Komposition (Hintereinanderausführung) zweier linearer Abbildungen ist gerade das Produkt der Matrixdarstellungen der beiden Abbildungen.

Damit sind Sinn und Zweck der zunächst etwas seltsam amutenden Definition des Produkts zweier Matrizen geklärt: Das Matrixprodukt wurde gerade so gewählt, dass das Multiplizieren von Matrizen dem Hintereinanderausführen der entsprechenden linearen Abbildungen entspricht.

Diese Erkenntnis hilft einerseits beim Finden von Matrixdarstellungen für komplexere Abbildungen (erst Spiegeln, dann Drehen, dann Strecken usw.); andererseits kann man damit auch recht einfach zu diversen Standardresultaten kommen, die sonst nur mühsam herleitbar sind:

Beispiel (Formel für den doppelten Winkel)

Sei $\alpha\in\bbR$ ein beliebiger Winkel, sei $A\in\bbR^{2\times 2}$ die Matrixdarstellung der Drehung um diesen Winkel und sei $B\in\bbR^{2\times 2}$ die Matrixdarstellung der Drehung um den Winkel $2\,\alpha$ , d.h.

A={\begin{bmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\\sin\alpha&\cos\alpha\end{bmatrix}}\qquad\text{und}\qquad B={\begin{bmatrix}\cos(2\,\alpha)&-\sin(2\,\alpha)\\\sin(2\,\alpha)&\cos(2\,\alpha)\end{bmatrix}}.

(12)

Die Drehung um den doppelten Winkel kann als Komposition von zwei einfachen Drehungen angesehen werden. Somit gilt $B=A\,A$ , also

{\begin{bmatrix}\cos(2\,\alpha)&-\sin(2\,\alpha)\\\sin(2\,\alpha)&\cos(2\,\alpha)\end{bmatrix}} ={\begin{bmatrix}(\cos\alpha)^2-(\sin\alpha)^2&-2\,(\cos\alpha)\,\sin\alpha\\2\,(\cos\alpha)\,\sin\alpha&(\cos\alpha)^2-(\sin\alpha)^2\end{bmatrix}}.

(13)

Wir erhalten damit die bekannten Formeln

\cos(2\,\alpha)=(\cos\alpha)^2-(\sin\alpha)^2

(14)

und

\sin(2\,\alpha)=2\,(\cos\alpha)\,\sin\alpha.

(15)

für Cosinus und Sinus des doppelten Winkels.

5.3 Lineare Abbildungen

5.3.1Begriff und Beispiele¶

5.3.2Matrixdarstellung¶

5.3.3Komposition vs. Matrixmultiplikation¶