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6.2.1Problembeschreibung

Es gibt keine allgemein gültige Aussage zum Umfang der Lösungsmengen von Differentialgleichungen. Manche Differentialgleichungen besitzen gar keine Lösung, andere besitzen genau eine oder nur wenige Lösungen und die meisten besitzen unendlich viele Lösungen.

Oft sehen verschiedene Lösungen einer Differentialgleichung sehr ähnlich aus (Funktionenschar). Manchmal treten aber auch grundverschiedene Funktionen gemeinsam als Lösungen auf.

Bei Differentialgleichungen mit unendlich vielen Lösungen können Zusatzforderungen (Anfangs- oder Randbedingungen) an die gesuchte Funktion gestellt werden. Dann stellt sich jedoch wieder die Frage, ob die Differentialgleichung samt Zusatzbedingungen immer noch lösbar ist und, wenn ja, wie viele Lösungen sie besitzt.

Oft ist auch nicht klar, auf welchem Intervall die Lösungen “leben”. Kann man auf ganz R\bbR definierte Lösungen finden oder nur auf einem kleinen Intervall?

6.2.2Grundlegende Sätze

Es gibt eine Reihe von mathematischen Sätzen, die sich mit der Existenz und der Eindeutigkeit von Lösungen zu Differentialgleichungen beschäftigen. Beschränken uns auf zwei solche Aussagen über das explizite Anfangswertproblem

y′=f(x,y),y(x0)=y0y'=f(x,y),\qquad y(x_0)=y_0
(1)

erster Ordnung.

Die Zahl cc im Satz kann man konkret angeben. Sie ist der kleinere der beiden Werte

aundbmax⁡f,a\qquad\text{und}\qquad\frac{b}{\max f},
(3)

wobei max⁡f\max f den größten Wert von ff auf dem Rechteck bezeichne.

Die beiden Sätze gelten analog auch für Anfangswertprobleme höherer Ordnung. Die Anzahl der Anfangsbedingungen muss gerade der Ordnung der Differentialgleichung entsprechen:

y(n)=f(x,y,y′,…,y(n−1)),y^{(n)}=f\bigl(x,y,y',\ldots,y^{(n-1)}\bigr),
(4)

y(x0)=y0,0,y′(x0)=y0,1,…,y(n−1)(x0)=y0,n−1.y(x_0)=y_{0,0},\quad y'(x_0)=y_{0,1},\quad\ldots,\quad y^{(n-1)}(x_0)=y_{0,n-1}.
(5)

Das Rechteck im Satz von Peano ist durch einen (n+1)(n+1)-dimensionalen Hyperquader zu ersetzen.

6.2.3Eigenwertprobleme

Enthält eine Differentialgleichung oder eine ihrer Zusatzbedingungen einen Parameter, so kann die Lösbarkeit der Differentialgleichung vom Wert des Parameters abhängen. Die Frage nach Parameterwerten für welche eine Differentialgleichung (nicht triviale) Lösungen besitzt, bezeichnet man als Eigenwertproblem.

Ingenieurmathematik (i939)
Grundlagen
Ingenieurmathematik (i939)
Systeme von Differentialgleichungen