Grundlagen - Ingenieurmathematik (i939)

6.1.1Abgrenzung und Bedeutung¶

Eine Gleichung, die eine Funktion und ihre Ableitungen zueinander in Beziehung setzt, heißt Differentialgleichung.

Betrachten zunächst nur gewöhnliche Differentialgleichungen, d.h. die gesuchte Funktion hängt nur von eine Veränderlichen ab.

Hängt die gesuchte Funktion von mehreren Veränderlichen ab, so spricht man von partiellen Differentialgleichungen. Diese werden später behandelt.

Aus der Untersuchung technischer, naturwissenschaftlicher oder auch wirtschaftswissenschaftlicher Zusammenhänge ergeben sich sehr häufig Differentialgleichungen, die die gesuchte Größe (eine Funktion) beschreiben. Mit Differentialgleichungen können verschiedenste Vorgänge modelliert und Gesetzmäßigkeiten formuliert werden. Insbesondere sind Differentialgleichungen das wichtigste und mächtigste mathematische Werkzeug der klassischen Mechanik!

Beachte: Bei der Formulierung von Differenzialgleichung verzichtet man zu Gunsten der Übersichtlichkeit meist auf die Angabe der Funktionsargumente. Mit Argumenten hätte die erste Gleichung im Beispiel die Form

F_1\bigl(x(t),y(t),z(t),t\bigr)=m\,x''(t).

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Auch gibt man den Definitionsbereich der gesuchten Funktion nur an, wenn dieser im Vorfeld bekannt ist. Meist ergibt sich der (maximale) Definitionsbereich jedoch erst im Laufe des Lösungsprozessen.

Innerhalb der Mathematik können Differentialgleichungen zur Beschreibung wichtiger Funktionen dienen.

6.1.2Begriffe¶

Der Grad der höchsten in einer Differentialgleichung auftretenden Ableitung heißt Ordnung der Differentialgleichung.

Steht die höchste auftretende Ableitung allein auf einer Seite der Gleichung und befinden sich auf der anderen Seite nur niedrigere Ableitungen der gesuchten Funktion, so spricht man von einer expliziten Differentialgleichung. Andernfalls von einer impliziten Differentialgleichung.

Explizite Differentialgleichungen können also in der Form

y^{(n)}=f\bigl(x,y,y',\ldots,y^{(n-1)}\bigr)

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mit einer Funktion $f:\bbR^{n+1}\rightarrow\bbR$ geschrieben werden.

Implizite Differentialgleichungen haben die Form

F\bigl(x,y,y',\ldots,y^{(n)}\bigr)=0

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mit einer Funktion $F:\bbR^{n+2}\rightarrow\bbR$ .

Fast alle Differentialgleichungen besitzen unendlich viele Lösungen. Sucht man alle Lösungen einer Differentialgleichung, so spricht man von der allgemeinen Lösung. Dies ist meist eine Formel, in der einige Parameter enthalten sind. Interessiert man sich nur für irgendeine Lösung oder für eine konkrete Lösung, die Zusatzbedingungen erfüllt, so spricht man von einer speziellen Lösung.

Differentialgleichungen stehen in der Praxis selten allein, sondern meist gemeinsam mit Zusatzbedingungen. Im Wesentlichen treten zwei Typen von Zusatzbedingungen auf:

Anfangsbedingungen: Die gesuchte Funktion und eventuell auch einige Ableitungen sind an einer festen Stelle $x_0$ bekannt. Steht $x$ für die Zeit, so ist der Zustand am Anfang des betrachteten Zeitraums meist bekannt und die weitere Entwicklung soll ermittelt werden.
Randbedingungen: Die gesuchte Funktion ist an einer oder mehreren Stellen vorgegeben. Steht $x$ für eine Ortskoordinate, so ist der Zustand an den Rändern des betrachteten Intervalls meist bekannt und der Zustand im Inneren ist zu ermitteln.

Differentialgleichungen mit Anfangsbedingungen heißen Anfangswertprobleme (AWP). Differentialgleichungen mit Randbedingungen heißen Randwertprobleme (RWP).

Beispiel (einseitig fest eingespannter Balken)

Das eine Ende eines Balkens der Länge $l$ sei waagerecht und unbeweglich eingespannt. Das andere Ende sei frei beweglich. Legen wir den Ursprung eines zweidimensionalen Koordinatensystems an das feste Ende und wählen wir die $x$ -Achse in Balkenrichtung und die $y$ -Achse nach unten, so kann die Form des Balkens unter Lasteinwirkung als positive Funktion $y:[0,l]\rightarrow[0,\infty)$ dargestellt werden. Die Biegelinie $y$ kann als Lösung des Anfangswertproblems

y''=\frac{F}{E\,I}\,(l-x),\qquad y(0)=0,\qquad y'(0)=0

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berechnet werden. Dabei ist $F$ eine am Balkenende von oben wirkende Kraft, $E$ der E-Modul und $I$ das Flächenträgheitsmoment des Balkenquerschnitts.

Hier handelt es sich um eine explizite Differentialgleichung zweiter Ordnung. Man kann zeigen, dass die allgemeine Lösung durch

y(x)=\frac{F}{E\,I}\,\left(\frac{l}{2}\,x^2-\frac{1}{6}\,x^3\right)+c_1\,x+c_2,\quad c_1,c_2\in\bbR

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gegeben ist. Einsetzen der Anfangsbedingungen liefert die spezielle Lösung

y(x)=\frac{F}{E\,I}\,\left(\frac{l}{2}\,x^2-\frac{1}{6}\,x^3\right).

(8)

Die Auslenkung am freien Balkenende ist somit

\frac{1}{3}\,\frac{F\,l^3}{E\,I}.

(9)

Beispiel (beidseitig gelenkig gelagerter Balken)

Die Biegelinie eines beidseitig gelenkig gelagerten Balkens der Länge $l$ ergibt sich als Lösung des Randwertproblems

y''=-\frac{q}{2\,E\,I}\,(l\,x-x^2),\qquad y(0)=0,\qquad y(l)=0

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(Koordinatensystem wie im vorhergehenden Beispiel). Dabei ist $q=q(x)$ die Kraftdichte (Kraft pro Längeneinheit) der auf dem Balken verteilten Lasten. Nehmen hier der Einfachheit halber an, dass $q$ konstant ist, so kann man zeigen, dass

y(x)=-\frac{q}{2\,E\,I}\,\left(\frac{l}{6}\,x^3-\frac{1}{12}\,x^4\right)+c_1\,x+c_2,\quad c_1,c_2\in\bbR

(11)

die allgemeine Lösung ist. Einsetzen der Anfangsbedingungen liefert die spezielle Lösung

y(x)=-\frac{q}{2\,E\,I}\,\left(\frac{l}{6}\,x^3-\frac{1}{12}\,x^4-\frac{l^3}{12}\,x\right).

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Die Durchbiegung in Balkenmitte ist somit

\frac{5}{384}\,\frac{q\,l^4}{E\,I}.

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6.1.3Klassifikation¶

Es gibt zahlreiche verschiedene Verfahren zum Lösen von Differentialgleichungen. Welches Verfahren zum Ziel führt, kann anhand gewisser Eigenschaften von Differentialgleichungen herausgefunden werden. Solche Eigenschaften sind:

Ordnung: Man unterscheidet Differentialgleichungen erster Ordnung und höherer Ordnung.
Linearität: Eine Differentialgleichung heißt linear, wenn $y$ und seine Ableitungen nur allein (eventuell mit Faktor davor) und nie als Produkte, Potenzen usw. vorkommen. Eine lineare Differentialgleichung hat also stets die Form
$a_n(x)\,y^{(n)}+\cdots+a_1(x)\,y'+a_0(x)\,y=b(x).$
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Bei linearen Differentialgleichungen unterscheidet man weiter:

Homogenität: Eine lineare Differentialgleichung heißt homogen, wenn das Absolutglied $b$ (auch Störglied genannt) überall Null ist. Andernfalls heißt sie inhomogen.
Konstante Koeffizienten: Man unterscheidet lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten, d.h. die $a_0,\ldots,a_n$ sind Zahlen, und mit nicht konstanten Koeffizienten, d.h. die $a_0,\ldots,a_n$ sind Funktionen.

Soll eine Differentialgleichung gelöst werden, so ist diese zunächst zu klassifizieren. Anhand der festgestellten Eigenschaften kann anschließend ein Lösungsverfahren ausgewählt werden. Dies gilt vor allem für das manuelle Lösen. Für das numerische Lösen spielt die Klassifikation nur eine untergeordnete Rolle.

6.1.4Lösungsmethoden¶

Differentialgleichungen wurden früher stets analytisch, d.h. manuell, gelöst. Man suchte also eine Formel, die die Lösungsfunktion exakt beschreibt. Entsprechend vielfältige manuelle Lösungsverfahren existieren und werden auch heute in einfachen Fällen noch eingesetzt. Praktisch werden Differentialgleichungen heute numerisch mit dem Computer gelöst. Hier steht ebenfalls eine große Anzahl an Verfahren zur Verfügung, die jedoch stets nur eine Näherung der Lösung liefern, nie die exakte Lösung. Computeralgebrasysteme können nicht zu komplexe Differentialgleichungen auch symbolisch lösen.

Manchmal ist man gar nicht an der genauen Lösung interessiert, sondern möchte nur einige Eigenschaften der Lösung in Erfahrung bringen. Eine solche Eigenschaft kann zum Beispiel das asymptotische Verhalten der gesuchten Funktion sein, wenn $x$ für die Zeit steht.

Ist nur der grobe Verlauf der Lösungskurven von Interesse, können auch grafische Lösungsverfahren in Betracht kommen.

Konzentrieren uns hier auf das numerische Lösen und auf das grafische “Lösen”, wobei letzteres ebenfalls mit Hilfe des Computers erfolgt und mit wenig Aufwand einen ersten Eindruck von der zu erwartenden Lösung verschafft.