Software - Ingenieurmathematik (i939)

Lösungsverfahren für gewöhnliche Differentialgleichungen muss man nur in wenigen Spezialfällen selbst implementieren, da entsprechende Funktionen üblicherweise in Software-Bibliotheken für numerische Berechnungen vorliegen. Oft erfolgt auch die Schrittweitenwahl automatisch (teils sogar adaptiv). In diesem Fall muss lediglich die gewünschte obere Schranke an den Fehler

\max_{k=1,\ldots,n}|y_k-y(x_k)|

(1)

zwischen numerischer Lösung und exakter Lösung vorgegeben werden. Die Algorithmen wählen dann die Schrittweite so klein, dass diese Schranke mit hoher Wahrscheinlichkeit erfüllt ist (keine Garantie!).

SciPy bietet z.B. scipy.integrate.solve_ivp für das Lösen von Systemen erster Ordnung. Diese Funktion verwendet standardmäßig das klassische Runge-Kutta-Verfahren, kann aber auch andere Verfahren nutzen.

Beispiel (Lorenz-System)

Das nach Edward N. Lorenz benannte System

{\begin{align*} y_1'&=a\,(y_2-y_1)\\ y_2'&=y_1\,(b-y_3)-y_2\\ y_3'&=y_1\,y_2-c\,y_3 \end{align*}}

(2)

von drei Differentialgleichungen sollte ursprünglich gewisse Prozesse in der Atmosphäre modellieren, spielt aber auch in vielen anderen Bereichen eine Rolle: Anwendungen:

Strömungen in dünnen Gas- oder Flüssigkeitsschichten ( $a$ , $b$ sind Materialparameter, $c$ hängt von den Maßen der Schicht ab, $y$ liefert gewisse Eigenschaften der Strömung, siehe Lorenz system),
(einfache) Modellierung von Lasern (Details),
Stromstärkeverlauf in geschlitzten Faraday-Generatoren (Details),
Modellierung bestimmter Betriebszustände von bürstenlosen Gleichstrommotoren (Details).

import numpy as np
import plotly.graph_objects as go
import scipy

# Differentialgleichungssystem
def f(x, y):
    alpha, beta, gamma = 10, 28, 8/3
    return np.array([
        alpha * (y[1] - y[0]), 
        y[0] * (beta - y[2]) - y[1],
        y[0] * y[1] - gamma * y[2]
    ])

# System lösen (automatische Schrittweitenwahl)
result = scipy.integrate.solve_ivp(
    f,  # Differentialgleichung
    (0, 40),  # Intervall, auf dem die Lösung berechnet werden soll
    np.array([10, 2, 3]),  # Startwert
    atol=1e-10,  # maximaler absoluter Lösungsfehler
    max_step=2e-2,  # größte zulässige Schrittweite
)
x = result.t
y = result.y

# Lösung darstellen
fig = go.Figure()
fig.layout.margin = dict(l=0, r=0, b=0, t=0)  # breiten Rand vermeiden
fig.add_trace(go.Scatter3d(
    x=y[0, :], y=y[1, :], z=y[2, :],
    mode='lines',
    line={
        'width': 2,
        'color': x,    # Liniensegmente nach Position in der Lösung färben
        'autocolorscale': False,    # wir wollen eigene Farbskala festlegen
        'colorscale': [[0, 'rgb(255,0,0)'],    # rot für x = 0
                       [0.5, 'rgb(0,255,0)'],  # grün für x = 0.5
                       [1, 'rgb(0,0,255)']]    # blau ab x = 1
    },
    hoverinfo = 'none'    # keine Infos bei Überfahren mit der Maus
))
fig.update_layout(
    scene_xaxis_title_text='y<sub>1</sub>',
    scene_yaxis_title_text='y<sub>2</sub>',
    scene_zaxis_title_text='y<sub>3</sub>',
    scene_camera_eye=dict(x=1,y=-1,z=1)
)
fig.show()

References¶

Haken, H. (1975). Analogy between higher instabilities in fluids and lasers. Physics Letters A, 53(1), 77–78. 10.1016/0375-9601(75)90353-9
Knobloch, E. (1981). Chaos in the segmented disc dynamo. Physics Letters A, 82(9), 439–440. 10.1016/0375-9601(81)90274-7
Hemati, N. (1994). Strange attractors in brushless DC motors. IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Fundamental Theory and Applications, 41(1), 40–45. 10.1109/81.260218

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