6.3 Systeme von Differentialgleichungen29. Juni 2026
Häufig werden technische oder physikalische Prozesse nicht nur durch eine Differentialgleichung bestimmt, sondern durch ein System aus mehreren Differentialgleichungen.
6.3.1 Systeme erster Ordnung ¶ Sei f : R ( n + 1 ) → R f:\bbR^{(n+1)}\to\bbR f : R ( n + 1 ) → R y : ( a , b ) → R n y:(a,b)\to\bbR^n y : ( a , b ) → R n
y ′ = f ( x , y ) y'=f(x,y) y ′ = f ( x , y ) so spricht man von einem Differentialgleichungssystem erster Ordnung . Ausführliche Schreibweise:
y 1 ′ = f 1 ( x , y 1 , … , y n ) , ⋮ y n ′ = f n ( x , y 1 , … , y n ) . {\begin{align}
y_1'&=f_1(x,y_1,\ldots,y_n),\\
&\vdots\\
y_n'&=f_n(x,y_1,\ldots,y_n).\\
\end{align}} y 1 ′ y n ′ = f 1 ( x , y 1 , … , y n ) , ⋮ = f n ( x , y 1 , … , y n ) . Zu diesem werden üblicherweise n n n
y ( x 0 ) = y 0 y(x_0)=y_0 y ( x 0 ) = y 0 für ein y 0 ∈ R n y_0\in\bbR^n y 0 ∈ R n
6.3.2 Systeme höherer Ordnung ¶ Systeme höherer Ordnung spielen nur eine Nebenrolle, da sie in Systeme erster Ordnung umgewandelt werden können.
Hatten in Beispiel (Newton'sches Gesetz)
F ( t , x ) = m x ′ ′ ( t ) , t ≥ 0 , x ( 0 ) = x 0 , x ′ ( 0 ) = v 0 , F(t,x)=m\,x''(t),\quad t\geq 0,\quad x(0)=x_0,\quad x'(0)=v_0, F ( t , x ) = m x ′′ ( t ) , t ≥ 0 , x ( 0 ) = x 0 , x ′ ( 0 ) = v 0 , wobei m > 0 m>0 m > 0 F : R 4 → R F:\bbR^4\to\bbR F : R 4 → R x 0 ∈ R 3 x_0\in\bbR^3 x 0 ∈ R 3 v 0 ∈ R 3 v_0\in\bbR^3 v 0 ∈ R 3 x : [ 0 , ∞ ) → R 3 x:[0,\infty)\to\bbR^3 x : [ 0 , ∞ ) → R 3
Hierbei handelt es sich um ein System von drei Differentialgleichungen zweiter Ordnung.
Setzen wir
v 1 : = x 1 ′ , v 2 : = x 2 ′ , v 3 : = x 3 ′ , {\begin{align}
v_1&:=x_1',\\
v_2&:=x_2',\\
v_3&:=x_3',
\end{align}} v 1 v 2 v 3 := x 1 ′ , := x 2 ′ , := x 3 ′ , so kann das ursprüngliche System als
F 1 = m v 1 ′ , F 2 = m v 2 ′ , F 3 = m v 3 ′ {\begin{align}
F_1&=m\,v_1',\\
F_2&=m\,v_2',\\
F_3&=m\,v_3'
\end{align}} F 1 F 2 F 3 = m v 1 ′ , = m v 2 ′ , = m v 3 ′ geschrieben werden. Wir erhalten also ein zum ursprünglichen System äquivalentes System von sechs Differentialgleichungen erster Ordnung. Die Anfangsbedingungen sind
x ( 0 ) = x 0 , v ( 0 ) = v 0 . x(0)=x_0,\qquad v(0)=v_0. x ( 0 ) = x 0 , v ( 0 ) = v 0 . Nach dem Lösen dieses Systems können die zusätzlich eingeführten Funktionen v 1 , v 2 , v 3 v_1,v_2,v_3 v 1 , v 2 , v 3
Die im Beispiel verwendete Idee zur Umwandlung von Systemen höherer Ordnung in Systeme erster Ordnung kann man allgemein anwenden. Insbesondere lassen sich so auch einzelne Gleichungen höherer Ordnung in Systeme erster Ordnung umwandeln.
Die Differentialgleichung n n n
y ( n ) = f ( x , y ′ , y ′ ′ , … , y ( n − 1 ) ) y^{(n)}=f(x,y',y'',\ldots,y^{(n-1)}) y ( n ) = f ( x , y ′ , y ′′ , … , y ( n − 1 ) ) ist äquivalent zum System erster Ordnung
y 1 ′ = y 2 , y 2 ′ = y 3 , ⋮ y n − 1 ′ = y n , y n = f ( x , y 1 , y 2 , … , y n − 1 ) {\begin{align}
y_1'&=y_2,\\
y_2'&=y_3,\\
&\vdots\\
y_{n-1}'&=y_n,\\
y_n&=f(x,y_1,y_2,\ldots,y_{n-1})
\end{align}} y 1 ′ y 2 ′ y n − 1 ′ y n = y 2 , = y 3 , ⋮ = y n , = f ( x , y 1 , y 2 , … , y n − 1 ) mit n n n IDV 620).
Die Randbedingungen
y ( x 0 ) = a 0 , y ′ ( x 0 ) = a 1 , … , y ( n − 1 ) = a n − 1 y(x_0)=a_0,\quad y'(x_0)=a_1,\quad\ldots,\quad y^{(n-1)}=a_{n-1} y ( x 0 ) = a 0 , y ′ ( x 0 ) = a 1 , … , y ( n − 1 ) = a n − 1 der Gleichung n n n
y 1 ( x 0 ) = x 0 , y 2 ( x 0 ) = a 1 , … , y n ( x 0 ) = a n − 1 y_1(x_0)=x_0,\quad y_2(x_0)=a_1,\quad\ldots,\quad y_n(x_0)=a_{n-1} y 1 ( x 0 ) = x 0 , y 2 ( x 0 ) = a 1 , … , y n ( x 0 ) = a n − 1 für das System erster Ordnung.
Beachte: Jede Differentialgleichung höherer Ordnung kann in ein System erster Ordnung überführt werden. Allerdings gibt es Systeme erster Ordnung, die nicht in eine Differentialgleichung höherer Ordnung überführt werden können. Ob und wie ein System in eine Gleichung höherer Ordnung überführt werden kann, ist im Einzelfall zu klären. Es gibt dafür kein allgemein anwendbares Vorgehen.
6.3.3 Lineare Systeme erster Ordnung ¶ Ein wichtige Rolle in Anwendungen spielen lineare Systeme erster Ordnung. Dieses besitzen die Struktur
y 1 ′ = a 1 , 1 ( x ) y 1 + ⋯ + a 1 , n y n + b 1 ( x ) , ⋮ y n ′ = a n , 1 ( x ) y 1 + ⋯ + a n , n y n + b 1 ( x ) {\begin{align}
y_1'&=a_{1,1}(x)\,y_1+\cdots+a_{1,n}\,y_n+b_1(x),\\
&\vdots\\
y_n'&=a_{n,1}(x)\,y_1+\cdots+a_{n,n}\,y_n+b_1(x)
\end{align}} y 1 ′ y n ′ = a 1 , 1 ( x ) y 1 + ⋯ + a 1 , n y n + b 1 ( x ) , ⋮ = a n , 1 ( x ) y 1 + ⋯ + a n , n y n + b 1 ( x ) mit gegebenen Funktionen a i , j a_{i,j} a i , j b i b_i b i
Setzt man
A : = [ a 1 , 1 ⋯ a 1 , n ⋮ ⋮ a n , 1 ⋯ a n , n ] und b : = [ b 1 ⋮ b n ] , A:={\begin{bmatrix}a_{1,1}&\cdots&a_{1,n}\\\vdots&&\vdots\\a_{n,1}&\cdots&a_{n,n}\end{bmatrix}}
\qquad\text{und}\qquad b:={\begin{bmatrix}b_1\\\vdots\\b_n\end{bmatrix}}, A := ⎣ ⎡ a 1 , 1 ⋮ a n , 1 ⋯ ⋯ a 1 , n ⋮ a n , n ⎦ ⎤ und b := ⎣ ⎡ b 1 ⋮ b n ⎦ ⎤ , so kann ein lineares System erster Ordnung in der Form
y ′ = A ( x ) y + b y'=A(x)\,y+b y ′ = A ( x ) y + b geschrieben werden.
6.3.4 Autonome Systeme ¶ Ein System von Differentialgleichungen heißt autonom , wenn die in der expliziten Darstellung die rechte Seite nicht explizit von der Veränderlichen abhängt, wenn es also von der Form
ist mit einer Funktion F : R n → R n F:\bbR^n\to\bbR^n F : R n → R n
Für autonome Systeme existieren spezielle Lösungsverfahren, welche die zusätzliche Strukturinformation vorteilhaft nutzen können.