8.3 Diskrete Verteilungen

Verschiedene zufällige Vorgänge besitzen ähnliche Eigenschaften. So ist das Würfeln mit einem Spielwürfel vergleichbar mit dem Werfen einer Münze, nur dass es beim Würfeln sechs mögliche Ergebnisse gibt und beim Werfen einer Münze nur zwei. In diesem Unterkapitel schauen wir uns häufig auftretende Muster bei zufälligen Vorgängen an, die als diskrete Zufallsgröße modelliert werden können.

Wir beschränken uns dabei auf die wichtigsten Klassen und erwähnen andere nur kurz. Die Details findet man in Formelsammlungen und jedem umfangreicheren Lehrbuch zur Wahrscheinlichkeitsrechnung.

8.3.1Überblick¶

Folgende Klassen von Verteilungsfunktion treten üblicherweise bei diskreten Zufallsgrößen auf:

• diskrete Gleichverteilung (endlich viele Werte; alle Werte gleich wahrscheinlich; siehe unten),

• Binomialverteilung (z.B. Anzahl defekter Teile bei Produktion einer vorgebenen Anzahl, siehe unten),

• Poisson-Verteilung (Anzahl des Eintretens seltener Ereignisse; z.B. Anrufe pro Tag; abzählbar unendlicher Wertebereich),

• geometrische Verteilung (z.B. Anzahl korrekt produzierter Bauteile bis zum ersten Fehlerhaften Teil),

• hypergeometrische Verteilung (z.B. Anzahl schwarzer Kugeln beim Ziehen einer festen Anzahl Kugeln aus einer Menge von schwarzen und weißen Kugeln).

8.3.2Diskrete Gleichverteilung¶

Die diskrete Gleichverteilung deckt beispielweise das Würfeln und das Werfen einer Münze ab.

Für eine diskret gleichverteilte Zufallsgröße $X$ gilt offensichtlich

Beachte bei dieser Formel, dass es sich nicht (!) um den empirischen Erwartungswert von $n$ Realisierungen der Zufallsgröße handelt, sondern um das arithmetische Mittel aus allen möglichen Werten, die die Zufallsgröße annehmen kann.

Für die Varianz erhalten wir

8.3.3Binomialverteilung¶

Als Standardbeispiel für binomialverteilte Zufallsgrößen dienen Produktionsprozesse, bei denen die produzierten Bauteile mit einer bekannten Wahrscheinlichkeit $p\in[0,1]$ defekt sind. Bei einer Gesamtproduktion von $n$ Teilen kann man fragen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass genau $k\in\{0,1,\ldots,n\}$ Teile defekt sind. Dabei gehen wir davon aus, dass die Frage, ob ein Teil defekt ist, nicht davon abhängt, ob die anderen produzierten Teile defekt sind oder nicht.

Hier bezeichnet $n\choose k$ den aus der Schulmathematik bekannten Binomialkoeffizient

Source

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.special import binom  # Binomialkoeffizient

fig, ax = plt.subplots()

for (n, p) in [(20, 0.3), (20, 0.8), (40, 0.8)]:
    k = np.arange(0, n + 1)
    probs = binom(n, k) * p ** k * (1 - p) ** (n - k)
    ax.stem(k, probs, 'o', label=f'p = {p}, n = {n}')

ax.set_title('Verschiendene Binomialverteilungen')
ax.set_xlabel('k')
ax.set_ylabel('P(X=k)')
ax.legend()
plt.show()

Erwartungswert und Varianz einer mit Parametern $n$ und $p$ binomialverteilten Zufallsgröße $X$ sind

und

(die Herleitung ist elementar, aber länglich, und entfällt deshalb).