8.2 Zufallsgrößen

Die praktische Handhabung von Ereignissen als Elemente des Ereignisfeldes $\cA$ eines Wahrscheinlichkeitsraums $(\Omega,\cA,P)$ ist eher mühsam. Angenehmer ist die Arbeit mit Funktionen, die zufällige Werte annehmen. Jede Wiederholung eines zufälligen Vorgangs kann dann einen anderen Funktionswert liefern. Dies erreicht man durch das Einführen von sogenannten Zufallsgrößen.

8.2.1Begriff¶

Zufallsgrößen bieten keine zusätzlichen Erkenntnisse oder Möglichkeiten, sondern dienen nur der Bequemlichkeit bei der Arbeit mit Wahrscheinlichkeitsräumen. Dies geht soweit, dass man die Grundmenge $\Omega$ und das Ereignisfeld $\cA$ gar nicht mehr konkret angibt, sondern lediglich den Wertebereich der betrachteten Zufallsgröße und die Wahrscheinlichkeiten

für alle $x\in\bbR$. Durch die Angabe der Wahrscheinlichkeiten $P(X<x)$ sind automatisch auch die Wahrscheinlichkeiten aller anderen relevanten Ereignisse bestimmt (Video 820, Notizen dazu)

Bei diskreten Zufallsgrößen ist das Wahrscheinlichkeitsmaß auch durch die Angabe der Wahrscheinlichkeiten

festgelegt. Daraus ergeben sich dann die Wahrscheinlichkeiten $P(X<x)$ für alle $x\in\bbR$ und alle weiteren relevanten Wahrscheinlichkeiten.

Im ersten Beispiel gibt die Zufallsgröße die Struktur des dahinter liegenden Wahrscheinlichkeitsraums vollständig wieder. Im zweiten Beispiel wird die Struktur der möglichen Ausgänge des zufälligen Vorgangs deutlich vereinfacht bzw. vergröbert. Der umgekehrte Fall, also ein Verfeinern der Beschreibung eines zufälligen Vorgangs mittels Zufallsgrößen, ist nicht möglich, da aufgrund der Urbildeigenschaft von Zufallsgrößen höchstens so viele verschiedene Ereignisse beschrieben werden können wie im Ereignisfeld des zugrundeliegenden Wahrscheinlichkeitsraums vorhanden sind.

8.2.2Verteilungsfunktionen und Quantile¶

Wir führen noch zwei Begriffe ein, die inhaltlich keine neuen Erkenntnisse liefern, aber die Notation etwas vereinfachen und in der Literatur sehr verbreitet sind.

Aus den Betrachtungen oben folgt, dass mit der Kenntnis der Verteilungsfunktion einer Zufallsgröße die Wahrscheinlichkeiten aller relevanten bzgl. der Zufallsgröße ausgedrückten Ereignisse berechnet werden können.

Den folgenden Begriff kann man auch für nicht stetige und streng monotone Verteilungsfunktionen einführen. Dann muss man allerdings mit einigen Sonderfällen hantieren und die Darstellung wird aufwendiger. Da wir den Begriff nur bei stetigen und streng monotonen Verteilungsfunktionen benötigen werden, begnügen wir uns mit diesem Fall.

Die Zuordnung $t\mapsto x_t$ des Quantils $x_t$ zu einem Wert $t$ der Verteilungsfunktion entspricht also gerade der Umkehrfunktion der Verteilungsfunktion. Quantile werden in der Statistik häufig benötigt.

8.2.3Dichtefunktionen¶

Wie bereits erwähnt, genügt für die Festlegung des Wahrscheinlichkeitsmaßes einer diskreten Zufallsgröße mit Werten $\{x_1,\ldots,x_n\}$ die Angabe der Wahrscheinlicheiten

Daraus kann man die Wahrscheinlichkeit für alle anderen Ereignisse als Summen der $p_k$ berechnen. Beispielsweise ist die Wahrscheinlichkeit $P(a<X<b)$ gerade die Summe aller $p_k$, für die $x_k\in(a,b)$ gilt.

Für diskrete Zufallsgrößen mit unendlich vielen Werten kann man völlig analog vorgehen. Bei Ereignissen, die unendlich viele Werte $x_k$ umfassen, erhält man statt einer Summe eine Reihe; für das sichere Ereignis beispielsweise

Für kontinuierliche Zufallsgrößen wäre eine ähnlich einfache Beschreibung des Wahrscheinlichkeitsmaßen sehr nützlich. Da aber in nahezu allen praktisch relevanten Fällen $P(X=x)=0$ für alle $x$ gilt (vgl. Beispiel (Rakete)), ist das Vorgehen nicht offensichtlich. Ersetzt man die Summation jedoch durch ein Integral, so erhält man analog zu den $p_k$ eine Funktion $p$, mit deren Hilfe die Wahrscheinlichkeiten aller Ereignisse als Integral ausgedrückt werden können:

Beachte, dass der Wertebereich einer kontinuierlichen Zufallsgröße stets ein Intervall ist. Eine Dichtefunktion soll laut Definition auf diesem Intervall und links davon und rechts davon stetig sein. Eine Dichtefunktion ist somit eine stückweise stetige Funktion mit höchstens zwei Sprungstellen.

Für unwahrscheinliche Ereignisse $[a,b]$ wird die Dichtefunktion $p(x)$ für $x\in[a,b]$ kleine Werte annehmen. Für wahrscheinliche Ereignisse wird $p(x)$ im entsprechenden Bereich groß sein. Die Werte $p(x)$ geben also zumindest einen relativen Eindruck von der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $\{x\}$, obwohl eigentlich $P(X=x)=0$ gilt.

Aus der Definition der Dichtefunktion erhält man sofort die beiden Eigenschaften

und

Außerdem kann man zeigen, dass für stetige Dichtefunktionen stets

gilt. Ist die Dichtefunktion nicht stetig, sondern nur stückweise stetig, so besitzt die Verteilungsfunktion Knickstellen bei den Sprüngen der Dichtefunktion (höchstens zwei). Zwischen den Knickstellen gilt wiederum $p(x)=F'(x)$.

Beachte, dass es auch kontinuierliche Zufallsgrößen gibt, für die keine Dichtefunktion existiert.

8.2.4Zusammenfassung und Ausblick¶

Wir haben nun alle wichtigen Begriffe und Konzepte zur Beschreibung und zur Untersuchung von zufälligen Vorgängen eingeführt. Der nächste große Schritt ist das Untersuchen konkreter zufälliger Vorgänge, indem wir die gebildeten Begriffe darauf anwenden. Zuvor sei jedoch nochmal das bis hier entwickelte Gesamtbild kurz dargestellt:

Wir haben zwei aufeinander aufbauende Varianten zur Modellierung von zufälligen Vorgängen eingeführt. Einerseits können wir einen zufälligen Vorgang als Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega,\cA,P)$ beschreiben. Andererseits können wir zufällige Vorgänge, deren Ergebnis sich als Zahl darstellen lässt, als Zufallsgröße mit zugehöriger Verteilungsfunktion (und ggf. Dichtefunktion) beschreiben.

Wir werden im Weiteren ausschließlich zufällige Vorgänge untersuchen, deren Ergebnis sich als Zahl darstellen lässt, sodass wir Wahrscheinlichkeitsräumen nicht mehr direkt begegnen werden. Als Unterbau für die Sprache der Zufallsgrößen sind Wahrscheinlichkeitsräume aber stets mit dabei. Wenigstens das Wahrscheinlichkeitsmaß $P$ als wesentliche Komponente von Wahrscheinlichkeitsräumen werden wir weiterhin direkt nutzen.

In diesem Unterkapitel führen wir noch zwei Kenngrößen für Zufallsgrößen ein, die uns gewisse Informationen zu einer Zufallsgröße in leicht handhabbarer Form (nämlich als Zahl) liefern. Anschließend schauen wir uns Klassen von Verteilungsfunktionen an, die bei einer Vielzahl von zufälligen Vorgängen eine Rolle spielen. Abschließend beschäftigen wir uns mit dem Zusammenspiel mehrerer Zufallsgrößen aus verschiedenen Blickwinkeln.

8.2.5Erwartungswert und Varianz¶

Für die meisten Zufallsgrößen können wir angeben, welchen Wert sie im Mittel über sehr viele Realisierungen annehmen werden.

Bei diskreten Zufallsgrößen mit unendlich vielen Werten und bei kontinuierlichen Zufallsgrößen muss der Erwartungswert nicht existieren.

Wichtig ist die Unterscheidung des hier definierten Erwartungswerts einer Zufallsgröße vom in der Statistik verwendeten empirischen Erwartungswert (oder Mittelwert). Der empirische Erwartungswert ist das arithmetische Mittel aus einer endlichen Anzahl von Realisierungen der Zufallsgröße. Der Erwartungswert (einer Zufallsgröße) kann als Grenzwert des empirischen Erwartungswert bei wachsender Anzahl von Realisierungen angesehen werden; die präzise Formulierung dieses Zusammenhangs folgt in einem späteren Unterkapitel.

Kennt man den Erwartungswert einer Zufallsgröße, so stellt sich die Frage, wie nah die Realisierungen (im Mittel über sehr viele Versuche) beim Erwartungswert liegen werden. Diese “mittlere Abweichung vom Erwartungswert” kann auf verschiedene Weisen in Formeln ausgedrückt werden, z.B. als

Ist $X$ eine Zufallsgröße, so ist auch $|X-c|$ für $c\in\bbR$ eine Zufallsgröße. Als Verschiebung $c$ können wir insbesondere den Erwartungswert wählen. Aufgrund angenehmerer Eigenschaften (die uns im Rahmen dieser Einführung nicht vollständig klar werden werden) wählt man jedoch üblicherweise ein anderes Maß für die “mittlere Abweichung”:

Die Rolle des Quadrierens hier entspricht vom Quadrieren bei der Länge von Vektoren. Als Länge eines Vektors $u$ verwenden wir natürlicherweise auch $\sqrt{\sum u_k^2}$ und nicht $\sum|u_k|$.

Da die Varianz ein Erwartungswert ist, muss die Varianz nicht (als endliche Zahl) existieren. Für übliche zufällige Vorgänge existiert sie aber. Wir gehen im Folgenden stets davon aus, dass alle in Formeln auftretenden Erwartungswerte und Varianzen exisiteren, ohne dies jedesmal explizit zu erwähnen.

Der Unterschied zwischen Varianz und Standardabweichung liegt ausschließlich in der Frage, ob man die Wurzel zieht (dann stimmt die Maßeinheit mit der von $X$ überein) oder nicht (dann lässt sich leichter damit rechnen).

Analog zum empirischen Erwartungswert versteht man unter der empirischen Varianz bzw. der emprischen Standardabweichung die mittlere quadratische Abweichung vom empirischen Erwartungswert bei einer endlichen Anzahl von Realisierungen einer Zufallsgröße.

Folgende Eigenschaften von Erwartungswert und Varianz lassen sich leicht anhand der Definitionen nachrechnen:

• $\bbE(a\,X+b)=a\,\bbE X+b\quad$ für alle $a,b\in\bbR$,

• $\bbVar(a\,X+b)=a^2\,\bbVar X\quad$ für alle $a,b\in\bbR$,

• $\bbVar X=\bbE(X^2)-(\bbE X)^2$.

Die zweite Eigenschaft besagt insbesondere, dass das Verschieben des Wertebereichs einer Zufallsgröße keinen Einfluss auf die Varianz hat. Der Erwartungswert verschiebt sich hingegen entsprechend mit (vgl. erste Eigenschaft). Beim Skalieren des Wertebereichs werden Erwartungswert und Standardabweichung mitskaliert.

8.2.6Standardisierung¶

Die folgende Transformation einer Zufallsgröße liefert stets eine Zufallsgröße mit Erwartungswert 0 und Varianz 1:

Beachte, dass wir stets stillschweigend davon ausgehen, dass die Varianz $\bbVar X$ einer Zufallsgröße $X$ nicht Null ist. Man überlegt sich leicht, dass $\bbVar X=0$ nur möglich ist, wenn $X$ konstant ist, also die Funktionswerte in diesem Sinne gar nicht zufällig sind.

Die Standardisierung einer Zufallsgröße dient beispielsweise dazu, die Werte für von Parametern abhängigen Verteilungsfunktionen einfacher in Tabellen erfassen zu können. Statt für jede Parameterkonstellation eigene Tabellen vorhalten zu müssen, wird nur eine Tabelle für die Standardisierung der betrachteten Zufallsgrößen benötigt. Aus dem Zusammenhang

lassen sich dann alle benötigten Wahrscheinlichkeiten berechnen.

Auch ermöglicht die Standardisierung einen einfacheren Vergleich zweier Zufallsgrößen bzw. deren Verteilungsfunktionen.