Wahrscheinlichkeitsräume - Mathematik I (i933)

Die Welt des Zufalls in mathematisch exakte Sprache zu fassen ist schwieriger als man denkt. Entsprechend lang hat dies gedauert. Eine allgemein anerkannte, hinreichend umfangreiche Theorie für Beschreibung und Untersuchung zufälliger Vorgänge stand erst in den 1930er-Jahren zur Verfügung.

Wie umgehen mit scheinbar widersprüchlichen oder mindestens der Intuition widersprechenden Feststellungen wie den folgenden?

Würfelt man mehrfach nacheinander, so sind die Würfe völlig unabhängig voneinander. Aus den bereits gewürfelten Zahlen kann man nicht auf die nächste Zahl schließen. Bei einer großen Anzahl von Würfen erscheint jedoch jede Zahl etwa gleich oft.
Hat man die Folge 33333333333333333333 gewürfelt, so kann man nicht (!) schließen, dass nun andere Zahlen öfter als die 3 erscheinen müssten, damit letztlich alle Zahlen etwa gleich oft vorkommen.
Bei 20 Würfen taucht die Folge 33333333333333333333 im Mittel über viele Versuche gleich oft auf wie die Folge 36215326326132562425.

In diesem ersten Unterkapitel zur Wahrscheinlichkeitsrechnung beschäftigen wir uns mit der grundlegenden Modellierung von zufälligen Vorgängen, also mit der Frage: Wie können wir zufällige Vorgänge in der Sprache der Mathematik formulieren? Die entsprechenden Modelle werden wir als Wahrscheinlichkeitsräume bezeichnen. Sind die Bestandteile eines Wahrscheinlichkeitsraums festgelegt, so können alle relevanten Aspekte des zufälligen Vorgangs an diesem klar definierten mathematischen Objekt untersucht werden.

8.1.1Zufallsexperimente und Elementarereignisse¶

Als zufällige Vorgänge sehen wir Vorgänge an, deren Ausgang oder Ergebnis vom Beobachter nicht vorhergesagt werden kann. Dabei spielt es keine Rolle, ob jemand anderes, der eventuell mehr Wissen besitzt, eine Vorhersage treffen könnte oder nicht. Solche Vorgänge werden auch als Zufallsexperimente bezeichnet.

Die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments bezeichnen wir als Ergebnismenge und bezeichnen diese üblicherweise mit $\Omega$ . Oft wird dies eine Menge von Zahlen sein; prinzipiell kann die Ergebnismenge aber beliebige Objekte enthalten. Die einzelnen Elemente der Ergebnismenge heißen Elementarereignisse.

8.1.2Ereignisfelder¶

Oft möchte man nicht jedes Elementarereignis separat betrachten, sondern ist nur an gewissen Kombinationen von Elementarereignissen interessiert.

Hat man für ein Zufallsexperiment alle interessierenden Ereignisse festgelegt, so ist es zweckmäßig, diese um all jene Ereignisse zu erweitern, die bei üblichen logischen Operationen daraus entstehen können:

Das Gegenereignis von $A\subseteq\Omega$ ist $\overline{A}:=\Omega\setminus A$ .
Zu zwei Ereignissen $A$ und $B$ beschreibt der Durchschnitt $A\cap B$ gerade das Ereignis, das genau dann eintritt, wenn $A$ und $B$ eintreten.
Zu zwei Ereignissen $A$ und $B$ beschreibt die Vereinigung $A\cup B$ gerade das Ereignis, das genau dann eintritt, wenn $A$ oder $B$ oder beide eintreten.

Die Und- und die Oder-Verknüpfung kann man auch auf mehr als zwei Ereignisse und sogar auf Folgen $(A_1,A_2,\ldots)$ von Ereignissen ausdehnen:

\bigcap_{k=1}^n A_k,\quad\bigcap_{k=1}^\infty A_k,\quad\bigcup_{k=1}^n A_k,\quad\bigcup_{k=1}^\infty A_k.

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Außerdem sind das sichere Ereignis $\Omega$ and das unmögliche Ereignis $\emptyset$ (leere Menge) für das Formulieren mancher Sachverhalte recht nützlich.

Ergänzt man die eigentlich interessierenden Ereignisse um all diese zusätzlichen Ereignisse, so entsteht ein sogenanntes Ereignisfeld:

Man überlegt sich leicht, dass auch $\emptyset$ und Durchschnitte von Mengen aus einem Ereignisfeld wieder zu dem Ereignisfeld gehören. Dazu sei an die de-Morganschen-Regeln erinnert:

Beispiel (Rakete)

Bildet man für das Raketen-Beispiel das kleinste Ereignisfeld, welches alle Intervalle $(a,b]$ und $(a,\infty)$ beinhaltet, so erhält man das sogenannte Borelsche Ereignisfeld zu $\Omega=[0,\infty)$ . Dieses ist sehr umfangreich, aber kleiner als die Potenzmenge $\cP([0,\infty))$ . Wir gehen hier nicht näher auf die genaue Struktur des Borelschen Ereignisfeldes ein, sondern begnügen uns mit der Feststellung, dass alle praktisch relevanten Mengen (also Ereignisse) darin enthalten sind.

Randbemerkung: Allein die Intervalle $(a,\infty)$ erzeugen schon das Borelsche Ereignisfeld zu $[0,\infty)$ , aber auch zu ganz $\bbR$ . Alternative kann am in $\bbR$ auch die Intervalle $(-\infty,b)$ als Grundlage nutzen.

Die Rolle von Ereignisfeldern ist vergleichbar mit der Rolle der Aufspannung von Vektoren. Während die Aufspannung einer handvoll interessierender Vektoren so beschaffen ist, dass wir bei den üblichen Vektoroperationen (skalares Vielfaches, Addition) immer in der Menge (also der Aufspannung) bleiben, ist das Ereignisfeld zu einer handvoll interessierender Ereignisse so beschaffen, dass wir bei den üblichen logischen Verknüpfungen von Ereignissen in der Menge (also dem Ereignisfeld) bleiben.

Nebenbemerkung (Wahl der Elementarereignisse)

Die Entscheidung, wie die Elementarereignisse und daraus die eigentlich interessierenden Ereignisse gewählt werden, ist in hohem Maße eine Geschmacksfrage. Bei vielen Zufallsexperimenten bietet sich eine “natürliche” Wahl der Elementarereignisse an; diese ist jedoch nicht zwingend!

Interessiert beim Würfeln nur die Frage, ob die gewürfelte Zahl gerade oder ungerade ist, so kann man problemlos auch die zweielementige Menge

\Omega:=\{0,\,1\}

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als Ergebnismenge wählen, wobei 0 für “gerade” steht und 1 für “ungerade” (natürlich können auch andere Symbole an Stelle von 0 und 1 verwendet werden). Das Ereignisfeld wäre dann

\cA:=\bigl\{\emptyset,\,\{0\},\,\{1\},\,\{0, 1\}\bigr\},

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also die Potenzmenge von $\Omega$ (Menge aller Teilmengen). Diese Wahl von $\Omega$ und $\cA$ liefert ein in jeder Hinsicht genauso brauchbares Modell des zufälligen Vorgangs wie die “natürliche” Wahl!

Umgekehrt kann man $\Omega$ auch komplexer wählen als es “natürlich” erscheint: Wir könnten die Lage des Würfels nach dem Würfeln durch drei Raumkoordinaten für die Position und zwei Winkel für die Drehung des Würfels beschreiben. Die Ergebnismenge wäre dann also $\Omega:=\bbR^3\times[0,\frac{\pi}{2}]\times[0,2\,\pi)$ . Das Ereignis “gerade Zahl gewürfelt” entspricht dann der Teilmenge de von $\Omega$ , deren Elemente eine Position und eine Drehung des Würfels beschreiben, bei der eine gerade Zahl nach oben zeigt. Mit einer so detaillierten Ergebnismenge könnte man auch das Ereignis “Würfel ist vom Tisch gefallen” erfassen.

Es wird sich zeigen, dass die konkrete Wahl von $\Omega$ praktisch gar keine große Rolle spielt. Im Gegenteil: Meist werden wir bei der Modellierung von Zufallsexperimenten $\Omega$ gar nicht explizit angeben, sondern $\Omega$ nur als “hinreichend detailliert” voraussetzen, ohne dies jedesmal explizit zu sagen.

8.1.3Wahrscheinlichkeitsmaße¶

Für die vollständige Beschreibung eines zufälligen Vorgangs fehlt noch das, was wir sowohl intuitiv als auch in der Mathematik als Wahrscheinlichkeit bezeichnen, also ein Maß, welches jedem Ereignis eine Zahl zuordnet, die Informationen darüber liefert, wie sehr mit dem Eintreten der einzelnen Ereignisse zu rechnen ist.

Ereignissen, die ziemlich sicher nicht eintreten werden, soll die Zahl 0 zugeordnet werden. Ereignissen, die mit Sicherheit eintreten werden, soll der größtmögliche Wert zugeordnet werden. Diesen legen wir auf 1 fest. Eine weitere intuitiv klare Eigenschaft dieser Zuordnung ist folgende: Sind zwei Ereignisse $A$ und $B$ disjunkt, treten also nie gleichzeitig ein (in Formeln: $A\cap B=\emptyset$ ), so soll dem Ereignis $A\cup B$ (d.h. “ $A$ tritt ein oder $B$ tritt ein oder beide”) gerade die Summe der Werte der beiden Einzelereignisse zugeordnet werden. Dieser Zusammenhang soll natürlich nicht nur für zwei, sondern auch für mehr (paarweise disjunkte) Ereignisse gelten.

Die Gleichheit in der dritten Forderung kann man auch als

P\left(\bigcup_{k=1}^\infty A_k\right)=\sum_{k=1}^\infty P(A_k)

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schreiben.

Die drei hier formulierten Forderungen an ein Wahrscheinlichkeitsmaß sind als Kolmogorovsches Axiomensystem bekannt. Aus diesen folgen leicht weitere Eigenschaften von Wahrscheinlichkeitsmaßen (Herleitungen: Video 810, Notizen dazu):

$P(\emptyset)=0$ ,
$P(\overline{A})=1-P(A)\quad$ für alle $A\in\cA$ ,
$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\quad$ für alle $A,B\in\cA$ .

Es genügt, ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf einer hinreichend großen Teilmenge von $\cA$ festzulegen. Die Wahrscheinlichkeiten der anderen Ereignisse ergeben sich dann aus den allgemein gültigen Eigenschaften von Wahrscheinlichkeitsmaßen.

Beispiel (Rakete)

Eine explizite Angabe des Wahrscheinlichkeitsmaßes $P$ für die Flughöhe einer Silvesterrakete ist schwierig. Dazu drei Gedanken:

Dass eine vorgegebene Flughöhe $x$ exakt (inklusive aller Nachkommastellen) erreicht wird ist praktisch ausgeschlossen. Es gibt unendlich viele verschiedene Flughöhen, sodass im Sinne der relativen Häufigkeit des Treffen einer konkreten Höhe bei “ $\frac{1}{\infty}$ ”, also Null liegt. Somit erscheint $P(\{x\})=0$ für alle Elementarereignisse als sinnvolle Wahl.
Nach hinreichend vielen Versuchen kommen wir zu der Meinung, dass etwa in der Hälft der Fälle die Flughöhe zwischen 10 und 15 Meter liegt. Deshalb erscheint $P([10,15])=0.5$ gerechtfertigt, obwohl alle Elementarereignisse Wahrscheinlichkeit Null haben sollten (vgl. vorheriger Punkt).
Führen wir das Zufallsexperiment durch, so wird eine konkrete Höhe $x$ erreicht. Daher könnte man meinen, dass zwangsläufig $P(\{x\})>0$ gelten muss, denn unsere Intuition sagt: Wenn das Ereignis tatsächlich eingetreten ist, kann seine Wahrscheinlichkeit nicht bei Null liegen. Dieser Gedanke steht jedoch im Widerspruch zum ersten Punkt.

Wir werden diese Problematik im nächsten Unterkapitel vertiefen und aufklären. Für den Moment halten wir fest:

$P(\{x\})=0$ für alle $x$ ist korrekt.
$P([10,15])=0.5$ steht dazu nicht (!) im Widerspruch.
Auch Ereignisse mit Wahrscheinlichkeit Null können eintreten.

Das Beispiel zeigt, dass noch Arbeit und Erkenntnisse vor uns liegen, obwohl wir die drei wesentlichen Definitionen schon eingeführt haben.

Zusammenfassend führt man nun folgenden Begriff ein:

Mehr Beispiele für das Modellieren von zufälligen Vorgängen als Wahrscheinlichkeitsräume schauen wir uns in den nachfolgenden Unterkapiteln an.

8.1.4Interpretation von Wahrscheinlichkeiten¶

Auch wenn man sich seit etwa 100 Jahren auf das hier beschriebene mathematische Modell für zufällige Vorgänge geeinigt hat, gibt es nach wie vor zwei unterschiedliche Schulen/Denkweisen/Interpretationen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung:

Bei der frequentistischen Denkweise wird die Wahrscheinlichkeit $P(A)$ eines Ereignisses $A$ als Grenzwert der relativen Häufigkeit des Eintretens dieses Ereignisses bei wachsender Versuchsanzahl angesehen. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses gibt also an, wie oft dieses Ereignis im Mittel über sehr viele Wiederholungen des Zufallsexperiments eintreten wird. Die Wahrscheinlichkeit von $\frac{1}{6}$ für eine Drei beim Würfeln bedeutet somit, dass bei sehr vielen Würfen etwa ein Sechstel der Würfe eine Drei liefern. Problematisch bei der frequentistischen Interpretation ist der Umgang mit Versuchen, die keine beliebig häufige Wiederholung zulassen. Wie soll man beispielsweise in frequentistischem Sinn die “Wahrscheinlichkeit für eine Kernschmelze” in einem Atomkraftwerk interpretieren?
Bei der bayesianischen Denkweise wird die Wahrscheinlichkeit $P(A)$ eines Ereignisses $A$ als Größe zur zahlenmäßigen Erfassung (“Quantifizierung”) der Unsicherheit bzw. Unkenntnis über das Eintreten des Ereignisses angesehen. Diese Sichtweise umgeht das Wiederholungsproblem der Frequentisten, führt aber zu einer gewissen Subjektivität bei der Größe von Wahrscheinlichkeiten. Auch ist hier nicht sofort klar, warum Wahrscheinlichkeiten immer im Intervall $[0,1]$ liegen sollten.

Beide Denkweisen sind in der Literatur etwa gleich stark vertreten und liefern sich regelmäßig harte Diskussionen, wer die zweckmäßigere Interpretation vertritt. Aus beiden Sichtweisen entstanden und entstehen wichtige Werkzeuge und Konzepte, sodass man keine von beiden einfach ablehnen kann.

Wir folgen hier durchgängig der frequentistischen Interpretation, da diese einen deutlich einfacheren Zugang zu den Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung ermöglicht.

8.1 Wahrscheinlichkeitsräume

8.1.1Zufallsexperimente und Elementarereignisse¶

8.1.2Ereignisfelder¶

8.1.3Wahrscheinlichkeitsmaße¶

8.1.4Interpretation von Wahrscheinlichkeiten¶